Wir nehmen mal an N = {1, 2, 3, ...} und damit liegt 0 nicht in N.
Damit |sin(n)| = 0 wäre müsste gelten
n = m·pi mit m, n ∈ N.
--> n/m = pi
Da pi allerdings irrational ist, können wir pi nicht als Bruch n/m darstellen, allerdings kann sich dieser Bruch unendlich dicht an pi annähern.
Nehmen wir also mal die Kettenbruchdarstellungg von pi.
pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, ...]
Dann sind die ersten Konvergenten
a1 = 3
a2 = 3 + 1/7 = 22/7
a3 = 3 + 1/(7 + 1/15) = 333/106
a4 = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/1)) = 355/113
a5 = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/292))) = 103993/33102
a6 = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + 1/1)))) = 104348/33215
Du erhältst damit also Brüche, die immer dichter an pi liegen. So kannst du dich zwar pi unendlich dicht nähern, allerdings nie erreichen. Damit können wir uns 0 also beliebig dicht annähern, allerdings eben nie komplett erreichen.
b1 = |sin(3)| ≈ 0.1411200080
b2 = |sin(22)| ≈ 0.008851309288
b3 = |sin(333)| ≈ 0.008821166117
b4 = |sin(355)| ≈ 3.014435181·10^(-5)
b5 = |sin(103993)| ≈ 1.912934167·10^(-5)
b6 = |sin(104348)| ≈ 1.101501604·10^(-5)