Funktion auf lokale Extremstellen untersuchen ohne Nebenbedigung

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion

\( \begin{aligned} f: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto y^{4}-4 x^{3} y+96 x-1 \end{aligned} \)

auf lokale Extremstellen.

Problem/Ansatz:

Wir hatten bis jetzt nur Aufgaben, in welchen eine Nebenbedingung gegeben war. Ich weiß nicht ganz wie ich meine erste Koordinate ohne Nebenbedingung herausfinden kann.

Comments

Wir hatten bis jetzt nur Aufgaben, in welchen eine Nebenbedingung gegeben war.

Bekommt ihr die Aufgaben zur Bearbeitung auf, bevor die Vorlesung soweit ist?

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Die partielle Ableitung nach y ist 4y³-4x³ und soll 0 werden. Das geht nur für y=x.

Die partielle Ableitung nach x ist 96-12x²y und soll ebenfalls 0 werden.

Wegen x=y wird daraus 96-12x³=0, also x=2.

Wegen x=y ist (2|2) der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Und wenn irgendein Möchtegern-Bestimmer diesen Kommentar zu einer Antwort machen will, hat das nicht lange Bestand.

Answer 1

Es ist wie bei einer Variablen: Die Kandidaten für Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung. Die Ableitung ist hier der Gradient, den =0 setzen gibt zwei Gleichungen. Damit kannst Du alle Kandidaten bestimmen - beachte, dies sind Punkte in \(\R²\).

Je nachdem wie das ausfällt, geht's dann weiter. Man wird vermutlich auch die Funktionswerte untersuchen.

Answer 2

Aloha :)

Kandidaten für Extremstellen findest du dort, wo der Gradient der zu optimierenden Funktion$$f(x;y)=y^4-4x^3y+96x-1$$gleich dem Nullvektor ist:$$\vec 0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{-12x^2y+96}{4y^3-4x^3}=\binom{-12(x^2y-8)}{4(y^3-x^3)}$$

Das führt auf die beiden Forderungen:$$x^2y=8\quad\land\quad y^3=x^3$$

Aus \(y^3=x^3\) folgt im Reellen \(y=x\).

Aus \(x^2y=8\) folgt dann \(x^3=8\) bzw. \(x=2\).

Es gibt also einen Kandidanten für Extremstellen: \(\;K(2|2)\).

Zur Prüfung des Kandidaten bestimmen wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}-24xy & -12x^2\\-12x^2 & 12y^2\end{array}\right)$$an der Stelle \((2|2)\)$$H(2;2)=\left(\begin{array}{rr}-96 & -48\\-48 & 48\end{array}\right)$$und stellen fest, dass auf der Hauptdiagonalen unterschiedliche Vorzeichen auftauchen, was bedeteut, dass die Hesse-Matrix indefinit ist.

Daher ist unser Kandidat \(K(2|2)\) kein lokales Extremum der Funktion.

Die Funktion hat daher keine lokalen Extrema.

Answer 3

Hallo.

Meine Ergänzung zum Beitrag von @nudger:

Um zu wissen ob Deine berechneten kritischen Punkte auch wirklich Extrema sind, machst du die Methode mit der Definitheit der Hesse-Matrix. Auch hinreichendes Kriterium gennant. Die Funktionenwerte der möglichen Extrema zu vergleichen ist strenggenommen nicht ausreichend. Nur weil der eine Funktionswert grösser als der andere ist, kannst Du nicht direkt folgern, das es ein Maximum ist. Es könnte genauso ein Sattelpunkt sein. Deswegen um genau zu wissen ob es überhaupt ein Extremum ist, musst du zu erst einmal die Hesse-Matrix berechnen. Diese ist die Matrix mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung als Komponenten (Schaue dir am besten die Reihenfolge der Komponenten im Internet an). Dann setzt du da deine kritischen Punkte ein und prüfst diese auf Definitheit. Für die kritischen Punkte, für die die Matrix positiv definit ist, handelt es sich um ein lokales Minimum und für die, wo die Matrix negativ definit ist, handelt es sich um ein lokales Maximum.