Ich würde mal erst so eine Art Partialbruchzerlegung der Summanden machen
\( \frac{3^{n-1}+n!}{4^{n} \cdot n!} = \frac{1}{4^n}+ \frac{ \frac{1}{3}\cdot (\frac{3}{4})^n}{n!} \)
Und dann machst du 2 Reihen daraus:
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} +\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{ \frac{1}{3}\cdot (\frac{3}{4})^n}{n!} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^n + \frac{1}{3}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{ (\frac{3}{4})^n}{n!} \)
Das erste ist die geometrische Reihe mit q=1/4 und die zweite Summe ist die e-Reihe für 3/4.