Den Reihenwert in Abhängigkeit von x für x \in(a, b) berechnen

Question

Aufgabe:

Den Reihenwert in Abhängigkeit von x für \( x \in(a, b) \) berechnen
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}(x-3)^{k} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits für das Intervall, bzw den Konvergenzradius die Lösung \( x \in(1, 5) \) berechnet, jedoch wird in der eigentlichen Aufgabe noch verlangt, dass ich den Reihenwert in Abhängigkeit von x berechne. Ich weiß nicht was das heißen soll.

Comments

Es handelt sich um eine geometrische Reihe

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ich weiß nicht was du mir damit sagen willst

Answer 1

Es ist \(\displaystyle s(x)=\sum_{k=0}^\infty\tfrac1{2^k}(x-3)^k=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{x-3}2\right)^k\) für \(1<x<5\).

Es handelt sich dabei um eine geometrische Reihe, für die es eine Summenformel gibt.
Die lautet allgemein \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac1{1-q}\) für \(-1<q<1\).

Hier ist \(q=\dfrac{x-3}2\). Damit lautet der Reihenwert \(s(x)=\dfrac1{1-\frac{x-3}2}=\dfrac2{5-x}\).