Reihenwert mit E-Funktion

Question

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Aufgabe 11 (2 Punkte) Berechnen Sie den folgenden Reihenwert: $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n-1}+n!}{4^{n} \cdot n!}=\square \frac{1}{3} \mathrm{e}^{3 / 4}+\frac{4}{3}$

Könnte mir hier jemand bitte erklären, wie man auf den Wert kommt. Ich habe es mit dem Quotientenkriterium probiert, doch komme leider nicht darauf.

LG

Comments

Könnte mir hier jemand bitte erklären, wie man auf den Wert kommt. Ich habe es mit dem Quotientenkriterium probiert, doch komme leider nicht darauf.

Das Quotientenkriterium kannst du benutzen, um zu zeigen, ob eine Reihe konvergiert. Gegen welchen Wert sie konvergiert, dafür ist das Quotientenkriterium ungeeignet.

Answer 1

Hallo. Hier siehe die Rechnung:

Zuerst habe ich den Bruch in zwei Summanden zerlegt, wodurch ich beim zweiten Summanden das n! wegkürzen konnte. In dem Fall kann man auch zwei Reihen daraus machen. Die erste Reihe ist die Exponentialreihe mit Potenz 3/4 um den Faktor 1/3 skaliert. Die zweite Reihe ist eine geometrische Reihe, wo ich die Formel genutzt habe.

Answer 2

Ich würde mal erst so eine Art Partialbruchzerlegung der Summanden machen

$\frac{3^{n-1}+n!}{4^{n} \cdot n!} = \frac{1}{4^n}+ \frac{ \frac{1}{3}\cdot (\frac{3}{4})^n}{n!}$

Und dann machst du 2 Reihen daraus:

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} +\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{ \frac{1}{3}\cdot (\frac{3}{4})^n}{n!} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^n + \frac{1}{3}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{ (\frac{3}{4})^n}{n!}$

Das erste ist die geometrische Reihe mit q=1/4 und die zweite Summe ist die e-Reihe für 3/4.

Comments

Da haben wir beide ja das gleiche.

Answer 3

Forme um

$$\frac{3^{n-1}+n!}{4^{n} \cdot n!}=\frac{3\cdot3^{n-1}}{3\cdot 4^nn!}+\frac{3n!}{3\cdot 4^nn!}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n}{n!}+\left(\frac{1}{4}\right)^n$$

und nutze die dir bekannten Reihen.