Berechnen Sie das Maximum und Minimum der Menge

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Berechnen Sie das Maximum und Minimum der Menge
\( \left\{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \mathbb{R}: x^{2}+x y+y^{2}=27\right\} \)

Problem/Ansatz

Wäre meine Vorgehensweise richtig, wenn ich erst einmal, die kritische Punke von der Fkt x ^2 + xy + y^2 -27 bestimme, dann finde ich einfach Hesse matrix

Answer 1

Implizite Differentiation von \(x^2+xy+y^2=27\) nach \(x\) liefert:

\(2x+y+xy'+2yy'=0\). \(y\) nimmt Extremwert an, wenn \(y'=0\), also

\(2x+y+x\cdot 0 +2y\cdot 0=0\). Damit ist \(y=-2x\), folglich

\(x^2-2x^2+4x^2=27\Rightarrow 3x^2=27\Rightarrow x=\pm 3\) und damit:

\(y=\mp 6\) ist das Minimum bzw. Maximum der Menge.

Answer 2

y^2 + x·y + x^2 - 27 = 0

y = - x/2 - √(27 - 0.75·x^2) 
y = - x/2 + √(27 - 0.75·x^2)

Minimum für x = 3

y = - 3/2 - √(27 - 0.75·3^2) = -6

Maximum für x = -3

y = - (-3)/2 + √(27 - 0.75·(-3)^2) = 6

Skizze

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Definiere dir die konstante Funktion$$F(x;y)\coloneqq x^2+xy+y^2=27$$Das ist eine Ellipsengleichung, deren minimales und maximales \(y\) gesucht ist.

Da die Funktion konstant ist, ist ihr totales Differential gleich Null:$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=(2x+y)\,dx+(x+2y)\,dy\implies$$$$(x+2y)\,dy=-(2x+y)\,dx\implies y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}$$

Mögliche Extremstellen finden wir dort, wo \(y'(x)\) zu Null wird, also für \(x=-\frac y2\).

Das setzen wir in die Funktionsgleichung für \(F\) ein:$$27=\left(-\frac y2\right)^2+\left(-\frac y2\right)\cdot y+y^2=\frac{y^2}{4}-\frac{y^2}{2}+y^2=\frac34y^2\implies y^2=36\implies y=\pm6$$

Damit sind Minimum und Maximum der Menge gefunden.