Minimum einer speziellen Menge

Question

Die Frage ist, was ist das Minimum der Menge

M := { |sin(n)| : n ist eine natürliche Zahl}.

Es gilt ja erstmal |sin(n)| > 0 für alle n.

Das Infimum ist klar, das ist 0. Aber was ist mit dem Minimum? Das Minimum kann ja nicht 0 sein, da es keine natürliche Zahl n gibt, wo sin(n) = 0 gilt, also liegt 0 nicht in M. (Das Minimum muss ja in der Menge selbst sein). Jedoch muss die Menge ja trotzdem ein Minimum haben…

Comments

Jedoch muss die Menge ja trotzdem ein Minimum haben…

Warum "muss"?
 

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Nach DIN gehört 0 auch zu den natürlichen Zahlen. Mit dieser Auffassung gäbe es das Problem nicht.

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0 ist und bleibt i.A. eine nicht natürliche Zahl

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0 ist und bleibt i.A. eine nicht natürliche Zahl

Wie schaut es dann bei 10,20... aus?

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@Txman ja, "i.A." hilft aber nicht. Laut DIN und auch in der Informatik ist das eben anders.

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wikipedia kennt das Problem auch:

Beide Konventionen werden uneinheitlich verwendet. Die ältere Tradition zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen (die Null wurde in Europa erst ab dem 13. Jahrhundert gebräuchlich). Diese Definition ist gängiger in mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie, in denen die Multiplikation der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht. In der Logik, der Mengenlehre und der Informatik[1] ist dagegen die Definition mit Null gebräuchlicher und vereinfacht die Darstellung. Nur mit letzterer Konvention bilden die natürlichen Zahlen mit der Addition ein Monoid. Im Zweifelsfall ist die verwendete Definition explizit zu nennen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Bezeichnungskonventionen

Warum kann man sich nicht endlich darauf einigen zu schreiben N und N0? Fällt da irgendeinem ein Zacken aus der Krone? Warum kann man das Problem nicht für ein und alle Male lösen, obwohl man weiß, dass es immer wieder auftritt?

Mein Eindruck ist, dass N ohne Zusatz immer N ohne die N meint, andernfalls wird es kenntlich gemacht. Oder täusche ich mich da?

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immer N ohne die N meint

Hier habe ich mich verschrieben. Ich meine natürlich "ohne die 0". Es ist mir leider erst jetzt aufgefallen. Leider kann ich den Beitrag nicht mehr korrigieren.

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Mein Eindruck ist, dass N ohne Zusatz immer N ohne die N meint, andernfalls wird es kenntlich gemacht. Oder täusche ich mich da?

Du irrst dich. Wenn man sich nach der DIN-Norm richtet, dann ist N die Menge der natürlichen Zahlen, einschließlich der Null.

Allerdings täuscht du dich nicht, wenn dir auffällt, dass viele Professoren und Lehrer, die mit einer anderen Definition aufgewachsen sind, diese weiterhin lehren.

So habe ich auch gelernt, dass jeder Bruch als eine ganze Zahl geteilt durch eine natürliche Zahl dargestellt werden kann. Da im Nenner keine Null stehen kann, war es bei den natürlichen Zahlen nicht notwendig, die Null zu berücksichtigen.

Gerade Professoren definieren sowas meist einmal, wie die Menge der natürlichen Zahlen verstanden werden soll.

So definiert der aktuelle Brückenkurs  von OMB+

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@Tanja

Das Infimum ist klar, das ist 0.

Wenn wir jetzt mal \(n=0\) ausschließen, dann ist der Beweis dieser Tatsache gar nicht so trivial. Versuch das mal zu zeigen.

Es wird sogar noch interessanter: \(\{|\sin n|\,:\, n\in \mathbb N\}\) liegt dicht in \([0,1]\).

Answer 1

Nein, die Menge hat kein Minimum. Das ist nicht verwunderlich.

Vergleiche auch die Menge {1/n mit n∈N}, die hat auch keins.

Answer 2

Wir nehmen mal an N = {1, 2, 3, ...} und damit liegt 0 nicht in N.

Damit |sin(n)| = 0 wäre müsste gelten

n = m·pi mit m, n ∈ N.

--> n/m = pi

Da pi allerdings irrational ist, können wir pi nicht als Bruch n/m darstellen, allerdings kann sich dieser Bruch unendlich dicht an pi annähern.

Nehmen wir also mal die Kettenbruchdarstellungg von pi.

pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, ...]

Dann sind die ersten Konvergenten

a1 = 3
a2 = 3 + 1/7 = 22/7
a3 = 3 + 1/(7 + 1/15) = 333/106
a4 = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/1)) = 355/113
a5 = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/292))) = 103993/33102
a6 = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + 1/1)))) = 104348/33215

Du erhältst damit also Brüche, die immer dichter an pi liegen. So kannst du dich zwar pi unendlich dicht nähern, allerdings nie erreichen. Damit können wir uns 0 also beliebig dicht annähern, allerdings eben nie komplett erreichen.

b1 = |sin(3)| ≈ 0.1411200080
b2 = |sin(22)| ≈ 0.008851309288
b3 = |sin(333)| ≈ 0.008821166117
b4 = |sin(355)| ≈ 3.014435181·10^(-5)
b5 = |sin(103993)| ≈ 1.912934167·10^(-5)
b6 = |sin(104348)| ≈ 1.101501604·10^(-5)