An welcher Stelle (x-Koordinate) liegt das lokale Minimum? An welcher Stelle (x-Koordinate) liegt das lokale Maximum?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion: f(x)=4x(x²−30)

An welcher Stelle (x-Koordinate) liegt das lokale Minimum?

An welcher Stelle (x-Koordinate) liegt das lokale Maximum?

Problem/Ansatz:

Das wäre meine Berechnung

1 Ableitung: f'(x)12x²−120

Die erste Ableitung Null setzten ergibt:

x1=−3.16227766016838

x2=3.16227766016838x=3.16227766016838

Und dann x1 und x2 in die 2te Ableitung setzen:

F''(x) = 24 * x = −75.8946638440411

und F''(x) = 24 * x = 75.8946638440411

Welcher dieser Werte ist jetzt das lokale Maximum und das lokale Minimum. Danke für die Hilfe

Answer 1

\(f(x)=4x(x²−30)=4x^3-120x\)

\(f'(x)=12x^2-120\)

\(12x^2-120=0\)

\(x_1=\sqrt{10}\)

\(x_2=-\sqrt{10}\)

Maximum oder Minimum:

\(f''(x)=24x\)

\(f''(\sqrt{10})=24\cdot\sqrt{10}>0\) Minimum

\(f''(-\sqrt{10})=24\cdot(-\sqrt{10})<0\) Maximum

Comments

Dankeschön, nur um sicher zu gehen.

Die 2te Ableitung dient nur als Kontrolle, um das lokale Maximum und Minimum zu berechnen muss ich nur die 1 Ableitung 0 setzen richtig?

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Die 2te Ableitung dient nur als Kontrolle, um das lokale Maximum und Minimum zu berechnen muss ich nur die 1 Ableitung 0 setzen richtig?

Sie dient nicht als Kontrolle, sondern sie ist nötig, um herauszufinden, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

Die 1. Ableitung zeigt dir nur, wo der Graph waagerechte Tangenten hat.

Weiterführung::

Es sei \(p(x)= \frac{1}{3}(x-4)^3-2 \)

\(p'(x)= (x-4)^2 \)

\( (x-4)^2=0 \)

\( x=4\) Hier ist eine waagerechte Tangente.

\(p''(x)= 2(x-4)=2x-8 \)

\(p''(4)=2\cdot 4-8=0 \) Hier ist nun weder ein Maximum noch ein Minimum, sondern ein Terrassenpunkt oder auch Sattelpunkt genannt.