Ist die Stelle x = 0 ein Maximum, Minimum oder Wendestelle?

Question

Könnt ihr mir einen Ansatz geben? Muss man nicht einfach nur die Berechnung der Extremstellen weglassen, da man ja schon theoretisch einen Kandidaten x = 0 hat?

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit
\( f(x)=-x^{203} \cdot x+x^{25}-32 \quad \text { für jedes } x \in \mathbb{R} \)
Entscheide, ob die Stelle \( x=0 \) Stelle eines relativen Maximums, Stelle eines relativen Minimums oder eine Wendestelle ist oder keine dieser drei Eigenschaften hat, und begründe deine Entscheidung.

Answer 1

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert Hinreichende Kriterien

und berechne \( f^{(25)}(0) \)

Comments

Warum muss man nochmal die 25. Ableitung berechnen?

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Schau in den wiki Link, da steht es.

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Also weil f⁽²⁵⁾ (0) = -32 < 0 -> Tiefpunkt  ?

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Das es kein Tiefpunkt ist, sieht man schon aus der Grafik.

In dem Wiki Artikel steht, man soll die kleinste Ableitung suchen, die an der zu betrachtenden Stelle \( \ne 0  \) wird und alle niedrigeren Ableitungen sind \( = 0 \)

Das erstemal wo das passieren kann, ist bei der 25-tigsten Ableitung. Denn es gilt

$$ f^{25}(x) = 25! - \mathcal{O}\left( x^{179} \right) $$ und somit \( f^{25}(0) \ne 0 \)

und $$ f^{24}(x) = 25!x - \mathcal{O}\left( x^{180} \right) $$ und somit \( f^{24}(0) = 0 \)

Daran siehst Du auch, das $$ f^{25}(0) \ne -32 $$ gilt. Vielmehr gilt

$$ f^{25}(0) = 25! $$

Den Rest kannst Du jetzt wieder aus dem Artikel nehmen.

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Ok, danke, ich glaube, ich habe das jetzt verstanden.