Ist das globale Optimum ein Maximum oder Minimum?

Question

Wie funktioniert diese Aufgabe?

Answer 1

Es gilt der Satz:

Ist an einer Stelle (x₀, y₀) $$f_x(x_0, y_0) = 0 \ \text{ und } \  f_y(x_0, y_0) = 0$$ und besteht außerdem die Ungleichung $$f_{xx}(x_0, y_0)\cdot f_{yy}(x_0, y_0) − \left(f_{xy}(x_0, y_0)\right)^2 > 0$$ so liegt an dieser Stelle ein Extremum vor, und zwar $$\text{ ein Maximum, wenn } f_{xx}(x_0, y_0) < 0, \ \text{ und ein Minimum, wenn } f_{xx}(x_0, y_0) > 0$$ ist.

Comments

aus deiner Antwort entnehme ich folgendes:

ich leite partiell ab

f´(x1) = -8x1 + 3x2 + 65

f´(x2) = 3x1 -6x2 -39

f´´(x1) = -8

f´´(x2) = -6

-8 * -6 wie errechne ich aber dein fxy ???

mfg

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Ich weiß zwar nicht was Du da abgeleitet hast. Mit der obigen Aufgabe hat das ja nichts zu tun?

Aber f_(xx) findest Du, wenn Du f(x,y) zweimal nach x ableitest. Brauchst Du f_(xy) so leitest Du einmal nach x ab und dann diese Ableitung noch nach y ;).

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Um die Ableitung nach einer Variable abzuleiten betrachtest du die andere als Konstante. In diesem Fall anstatt (x,y) haben wir (x₁, x₂).

$$f(x_1, x_2)=-7x_1^2-3x_1x_2-4x_2^2-7x_1-53x_2-26$$

Um die Funktion nach x₁ abzuleiten, benutzen wir die Potenzregel: $$f_{x_1}=-7\cdot 2 x_1^{2-1}-3x_2-7=-14 x_1-3x_2-7$$ Wir betrachten den Teil $$-4x_2^2-53x_2-26$$ als Konstante.

Um dann die Ableitung zweiter Ordnung $$f_{x_1x_2}$$ zu bererchnen, leiten wir die $$f_{x_1}=-14 x_1-3x_2-7$$ nach x₂ ab, wie Unknown bereits gesagt hat.

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Danke,

ich weiß nun das es sich um ein Maximum handelt da  f´´(x1) = -14 ist..

wie komme ich aber auf die Ergebnis ( 1 , -7)^T

mfg

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Wir haben die folgende Ableitungen erster Ordnung: $$f_{x_1}=-14x_1-3x_2-7\\ f_{x_2}=-3x_1-8x_2-53$$ Wir suchen also den Punkt (a,b) sodass $$f_{x_1}(a,b)=0 \ \text{ und } \ f_{x_2}(a,b)=0$$ Also muss folgendes gelten: $$f_{x_1}(a,b)=0 \Rightarrow -14a-3b-7=0\\ f_{x_2}(a,b)=0 \Rightarrow -3a-8b-53=0$$ Wir haben zwei Unbekannten und zwei Gleichungen. Wenn wir also dieses System lösen, bekommen wir a = 1 und b =  -7. Dann müssen wir noch prüfen ob $$f_{x_1x_1}(1,-7)\cdot f_{x_2x_2}(1,-7)-\left(f_{x_1x_2}(1, -7)\right)^2>0$$ Wenn diese Ungleichung gilt dann haben an dieser Stelle ein Extremum. Um zu gucken um es ein Maximum oder ein Minimum ist, müssen wir prüfen ob $$f_{x_1x_1}(1, -7)>0 \ \text{ oder } \ f_{x_1x_1}(1,-7)<0$$ 
Welche sind die Ableitung zweiter Ordnung?