Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die stationären Punkte der Funktion$$f(x;y)=6+8x-4y-3x^2+2xy-y^2$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{8-6x+2y}{-4+2x-2y}$$Wir addieren die beiden Koordinatengleichungen:$$0+0=(8-6x+2y)+(-4+2x-2y)=4-4x\implies x=1$$Wir setzen \(x=1\) in die Gleichung für die 1-te Koordinate ein:$$0=8-6x+2y=8-6+2y=2+2y\implies y=-1$$Der stationäre Punkt ist: \(\quad S(1|-1)\)
Der Funktionswert an dieser Stelle ist:\(\quad f(1;-1)=12\)
Die Hesse-Matrix der Funktion ist:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\[1ex]\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-6 & 2\\2 & -2\end{array}\right)$$ Die Determinante der Hesse-Matrix ist \(8\), da der erste Hauptminor \((-6)\) lautet, ist die Hesse-Matrix negativ definit. Es liegt bei \((1;-1)\) also ein Maximum vor. Dieses Maximum ist sogar global, weil die Hesse-Matrix gar nicht mehr von \(x\) oder \(y\) abhängt:
Globales Maximum bei: \(\quad(1;-1)\)
