Question

Warum hat die Funktion y=2- x - y unter der NB: x² + y² = 8 ein Maximum und ein Minimum? Wo liegt dieses?

Comments

Ist die Funktion so richtig. Ich würde eher vermuten

f(x,y) = 2 - x - y bzw.

z = 2 - x - y

Answer 1

Schau dir mal das an was Wolfromalfha daraus macht. Eventuell kannst du es dir mit der Graphik auch besser vorstellen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+2-x-y%2C+x%5E2%2By%5E2%3D8

Wenn du noch weitere Fragen dazu hast, melde dich gerne wieder.

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt kann ich es mir besser vorstellen. Leider hapert es noch mit der Rechnung. Ich habe es mit Lagrange versucht, komme da aber nicht weiter. f(x, y, λ) = 2- x -y + λ* (x² + y² - 8) habe ich als Funktion und dann die drei Ableitungen gleich null gesetzt. Da komme ich nicht weiter. fx = -x + 2λx = 0 fy = -y + 2λy = 0 fλ= x² + y² - 8 = 0 Vielleicht hättest du noch einen Tipp für mich?

Answer 2

Warum hat die Funktion \(f(x,y)=2- x - y\) unter der NB: \(x^2 + y^2 = 8\) ein Maximum und ein Minimum? Wo liegt dieses?

\(f(x,y,λ)=2- x - y+λ\cdot(x^2 + y^2 -8)\)

\(f_x(x,y,λ)=- 1 +λ \cdot 2x\)

\(f_y(x,y,λ)= - 1+λ \cdot 2y\)

\(f_λ (x,y,λ)=x^2 + y^2 -8\)

\(- 1 +λ \cdot 2x=0\)    →  \(λ \cdot 2x=1\) →  \(λ =\frac{1}{2x}\)

\(- 1+λ \cdot 2y=0\)  → \(λ \cdot 2y=1\)      → \(λ=\frac{1}{2y}\)

\(\frac{1}{2x}=\frac{1}{2y}\)   →  \(y=x\)   mit \( x ∨ y≠0\)

\(x^2 + x^2 =8\)  →  \(x^2  =4\)   \(x_1  =2\)   \(y_1  =2\)

\(x_2  =-2\)    \(y_1  =-2\)

Das "Warum" ist mir auch nicht klar.

Comments

Du kannst dir die Funktion

z = 2 - x - y

wie eine Ebene vorstellen. Wenn du jetzt auf diese Ebene einen Kreis mit der Gleichung x^2 + y^2 = 8 abbildest, dann ist das etwas Ringförmiges. Und dieser Ring hat einen höchsten und einen tiefsten Punkt.

Bilder von https://www.wolframalpha.com

Answer 3

Deine Ableitungen stimmen nicht. Die Ableitung nach \(x\) z.B. ist \(-1-2\lambda x\stackrel{!}{=}0\), für \(y\) analog.

Beim Umformen vermeide möglichst Divisionen durch die Variablen, weil das Fallunterscheidungen nach sich zieht.

Nachdem Du hier festgestellt hast, dass (damit die Gleichungen erfüllt sind) \(\lambda, x, y\neq 0\) ist, kommst Du auf \(x=y\). Das setzt Du in die NB ein. Achte beim Wurzelziehen auf die möglichen Vorzeichen.

Übrigens, die dritte Gleichung bestimmt man nicht durch Ableiten nach \(\lambda\), sondern das ist ja die NB, die schreibt man einfach hin.

Zur Existenz: Die Lösungmenge der NB ist eine kompakte Teilmenge des \(\R^2\). Nach einem Satz der Vorlesung (nachschlagen!) gibt es dann (bei stetigem \(f\)) stets ein globales (bez. der NB) Maximum und Minimum. Wieviele es davon gibt und ob es noch lokale (bez. der NB) gibt, ist erstmal nicht klar. Wenn der Lagrange-Ansatz aber zwei versch. Lösungen liefert, ist das aber auch geklärt (Logik).

Comments

Deine Ableitungen stimmen nicht. Die Ableitung nach \(x\) z.B. ist \(-1-2\lambda x\stackrel{!}{=}0\), für \(y\) analog.

\(-1-2\lambda x=0\)

\(2\lambda x=-1\)

\(\lambda =-\frac{1}{2x}\) Analog y:

\(\lambda =-\frac{1}{2y}\)

\(-\frac{1}{2x}=-\frac{1}{2y}\)→\(y=x\)

Das Ergebnis habe ich ja auch. Warum sind nun meine Ableitungen falsch?

---

Wie kommst Du darauf, dass ich Dich angesprochen habe?

---

Wie kommst Du darauf, dass ich Dich angesprochen habe?

Ich habe es auf meine Beantwortung bezogen, die ja demnach korrekt ist.