HILFE! Aufgabe mit Quadratsumme

Question

HI:) Das ist meine Aufgabe, also die Formel ergibt ja mit dem arithmetischem Mittel die Varianz, aber man soll ja zeigen das es das Minimum ist, aber wie mach ich das? Es wäre wirklich freundlich, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.

Es seien x₁, . . . , x_n ∈ R. Zeige, dass der Ausdruck

Q(c) := 1/n \( \sum\limits_{i=1}^{n}{(xi - c)^2 } \)  

(c ∈ R) sein Minimum für  c = ¯x  annimmt (also Q(¯x) = s^~2 der kleinstmögliche Wert ist, den Q
annehmen kann).

¯x soll das arithmetische Mittel darstellen

Answer 1

Q ist eine quadratische Funktion.

Das Minimum von quadratischen Funktionen kann man mittels Scheitelpunktform oder auch mittels Differentialrechnung bestimmen.

Answer 2

$$ Q'(c) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 2 (x_i-c) = 0 $$ D.h.

$$ \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n c = n c $$

also $$  c = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x} $$