Alternierende Quadratsumme

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{500}(-1)^{k} \cdot k^{2} \)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre die Reihe in gerade und ungerade aufzuteilen z.B. so \( \sum\limits_{n=1}^{250}{2n^2} \) - \( \sum\limits_{n=1}^{249}{(2n+1)^2} \). Kann man das so machen? Und wenn ja wie rechne ich z.B das k^2 aus?

Habe die Formel \( \sum\limits_{n=1}^{n}{n^2} \) = (n(*n+1)*(2n+1))/6 gefunden. Die ist allerdings nicht in unserer Formelsammlung für die Klausur also wie kann man sich die Formel herleiten? Oder gibt es noch einen anderen weg den man sich besser merken kann?

Die summe der Ungeraden zahlen kann ich glaube ich ausmultiplizieren und dann aufteilen in 3 Untersummen.

Kriege es leider gottes aber nicht hin, vielleicht fehlen mit einfach ein paar Tricks für Summen

Comments

Deine Aufteilung ist falsch.

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Bei der ersten Summe würde ich es so verstehen das für n = 250 , 2*250 = 500 also immer die gerade und für die zweite 2*249 + 1 = 499 also bis zu der letzten ungeraden Zahl < 500

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Zur Kontrolle: 125250

Answer 1

Mit der von dir gedachten Aufteilung geht es so:

$$2^2+4^2+6^2+\ldots+500^2-(1^2+3^2+5^2+\ldots +499^2)=  \sum\limits_{k=1}^{250}{(2k)^2}-\sum\limits_{k=1}^{250}{(2k-1)^2}$$

$$ =\frac{2}{3}\cdot 250 \cdot(250 + 1) \cdot( 2 \cdot 250+1)-\frac{1}{3}\cdot 250 ( 4 \cdot 250^2-1)$$

$$ =125250 $$

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Oder so:

$$\sum\limits_{k=1}^{250}{(2k)^2}-\sum\limits_{k=1}^{250}{(2k-1)^2}$$

$$=\sum\limits_{k=1}^{250}\left({(2k)^2}-{(2k-1)^2}\right)$$

$$=\sum\limits_{k=1}^{250}\left({(2k)^2}-{((2k)^2-4k+1)}\right)$$

$$  =\sum\limits_{k=1}^{250}\left(4k-1\right) $$

$$  =4\sum\limits_{k=1}^{250}\left( k\right)-250 $$

$$ =4\cdot\frac{250\cdot 251}{2}-250 = 501\cdot 250=125250$$

Answer 2

Mein Ansatz wäre die Reihe in gerade und ungerade aufzuteilen

Das ist keine gute Idee.

Du solltest -1²+2²-3²+4²-5²+6²+...

besser aufteilen in

(2²-1²)+(4²-3²)+(6²-5²)+...+(500²-499)²

= 3 + 7 + 11+ ...+ 999.

Comments

Deine Lösung ist genial. Allerdings soll man hier erst einmal auf die dritte binomische Formel kommen.

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Übertreibe nicht. Das geht übrigens auch ohne Kenntnis der dritten binomischen Formel.

Wer schon mal die Folge der ungeraden Zahlen aufsummiert hat und dabei ständig auf Quadratzahlen gestoßen ist weiß, dass der Abstand aufeinanderfolgender Quadratzahlen immer ungerade ist und vor Quadratzahl zu Quadratzahl um 2 zunimmt.

Answer 3

$$\sum_{k=1}^{500}(-1)^k\cdot k^2=\sum_{k=1}^{250}(2k)^2-\sum_{k=1}^{250}(2k-1)^2=\sum_{k=1}^{250}(4k-1).$$Nun die bekannte Gaußsche Summenformel anwenden.

Comments

Ahh so hat man bei den ungeraden sogar den 1. Summanden mit drin , verrückt wie deine Lösung eine Zeile groß und richtig ist.