Fragestellung "Zykel" unklar

Question

Wie viele Permutationen gibt es auf \( \{1, \ldots, n\} \), die einen Zykel mit Länge \( k \in \mathbb{N} \) haben, wobei \( k>n / 2 \) ?

Meine Frage ist nun, was genau gemeint ist. Als Zykel der Länge k, verstehe ich eine Permutation, welche n-k Elemente festhält und die restlichen in einem "Kreis" weitergibt. Für diese Auffasung ist die Lösung einfach (n über k)*(k-1)! .
Aber so wie die Aufgabe formuliert ist könnte man meinen das die restliche n-k Elemente nicht festgehalten werden müssen?

Edit: für zweiten Fall wären es dann (n über k)*(k-1)!*(n-k)! oder?

Comments

Meiner Auffassung nach bedeutet, dass eine Permutation \(\sigma\) "einen Zykel der Länge \(k\) hat/besitzt", dass die Permutation zykelhaft \(k\) Elemente an die jeweils nächsten weitergibt, an die anderen Elemente aber keine weiteren Bedingungen geknüpft sind.

Dazu im Gegensatz steht, dass \(\sigma\) "ein Zykel der Länge \(k\) ist". In dem Fall werden alle weiteren Elemente festgehalten.

Macht dein Skript diese Unterscheidung explizit? Ich würde ansonsten dann mal die Professor*in um Klärung in der Vorlesung bitten.

Answer 1

Als Zykel der Länge k, verstehe ich eine Permutation, welche n-k Elemente festhält und die restlichen in einem "Kreis" weitergibt.

Ja. Aber wenn das alles ist, was du zählen solltest, dann würde die Frage "Wie viele Zykel der Länge \(k\) gibt es?" lauten.

für zweiten Fall wären es dann (n über k)*(k-1)!*(n-k)! oder?

Ja.