wie stelle ich das Produkt disjunkter Zykel auf?

Question

Hallo,

wie stelle ich das Produkt disjunkter Zykel auf?

Zum Beispiel :

Schreibe (1,2,3,4) (7,6,5,4,3)  als Produkt disjunkter Zykel.

Disjunkt bedeutet ja, dass der Schnitt der beiden Zykel leer ist.

Comments

Wenn Dir grundsätzlich klar ist, wie man eine Permutation in disjunkte Zykel zerlegt, kannst Du die gegebene Permutation in Standarform darstellen und dann eben zerlegen.

Answer 1

Berechne σ = (1,2,3,4) (7,6,5,4,3).

Der erste Zykel beginnt mit 1, σ(1), σ(σ(1)), σ(σ(σ(1))) und geht so weiter bis man wieder bei der ersten Zahl des Zykels angelangt ist.

Der zweite Zykel beginnt bei einer Zahl, die im ersten Zykel nicht vorkommt und wird nach dem gleichen Prinzip gebildet.

Man bildet weitere Zykel bis man alle Zahlen verwendet hat.

Zykel, die nur aus einer Zahl bestehen, werden nicht aufgeschrieben.

Beispiel. Die Permutation

        σ(1)=4, σ(2)=5, σ(3)=3, σ(4)=6, σ(5)=2, σ(6)=1

als Produkt von disjunkten Zykeln ist

        σ = (1, 4, 6)(2, 5).

Comments

Das Produkt lautet nach den Musterlösungen (12376).

Für mich ist nicht schlüssig, wieso die 4 rausgelassen wird, aber die 3 nicht? Beide Ziffern sind doch in beiden Zyklen vorhanden. Im ersten Zykel bildet die 4 auf die 1 ab und im zweiten Zykel bildet die 4 auf die 3 ab.

---

Die Zykel werden von rechts nach links multipliziert.

Das macht bei disjunkten Zykeln keinen Unterschied, aber bei (1,2,3,4) (7,6,5,4,3) eben doch. Zuerst wird im rechten Zykel die 4 auf die 3 abgebildet, dann wird im linken Zykel die 3 auf die 4 abgebildet. Im Produkt wird also die 4 auf sich selbst abgebildet.

---

Dankeschön das ergibt Sinn. Wie ich jedoch das Produkt bilde ist mir auch noch nicht ganz klar. Könntest du mir das eventuell anhand eines Beispiels erklären?

Liebe Grüße

---

(1

1 wird durch (7,6,5,4,3) auf 1 abgebildet und 1 wird durch (1,2,3,4) auf 2 abgebildet.

(1 2

2 wird durch (7,6,5,4,3) auf 2 abgebildet und 2 wird durch (1,2,3,4) auf 3 abgebildet.

(1 2 3

3 wird durch (7,6,5,4,3) auf 7 abgebildet und 7 wird durch (1,2,3,4) auf 7 abgebildet.

(1 2 3 7

7 wird durch (7,6,5,4,3) auf 6 abgebildet und 6 wird durch (1,2,3,4) auf 6 abgebildet.

(1 2 3 7 6

6 wird durch (7,6,5,4,3) auf 5 abgebildet und 5 wird durch (1,2,3,4) auf 5 abgebildet.

(1 2 3 7 6 5

5 wird durch (7,6,5,4,3) auf 4 abgebildet und 4 wird durch (1,2,3,4) auf 1 abgebildet. Das ist die Zahl, mit der der Zykel begonnen hat.

(1 2 3 7 6 5)

In dem Zykel taucht die Zahl 4 noch nicht auf.

(1 2 3 7 6 5)(4

4 wird durch (7,6,5,4,3) auf 3 abgebildet und 3 wird durch (1,2,3,4) auf 4 abgebildet. Das ist die Zahl, mit der der Zykel begonnen hat.

(1 2 3 7 6 5)(4)

Zykel der Länge 1 können weggelassen werden, weil sie neutral sind.

(1 2 3 7 6 5)

---

Vielen vielen Dank, ich habe es verstanden :)