Injektivität und Surjektivität zeigen

Question

ich soll folgendes zeigen:

Seien X und Y zwei nicht-leere Mengen und seinen f: X--->Y und g: Y--->X. Es gilt f ∘ g = f(g(x)).

Ferner sei id_x  die Identität auf X  so, dass für alle x Element aus X gilt id_x(x) = x.

Sei nun g ∘ f = id_{x .}  Zeigen Sie, dass f injektiv und g surjektiv ist.

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Wir haben zwar geklärt was Injektivität und Surjektivität ist, aber wie man sowas beweist haben wir nicht besprochen. Habe mir schon diverse Videos angeschaut, aber da arbeitet man mit konkreten Funktionen, hier habe ich ja nur X und Y...?

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnten!!

Vielen Dank vorab!

LG

Answer 1

Habe genau diesselbe Aufgabe gestellt. Es gilt g(f(x)) = x für alle x nach Voraussetzung. Sei f(x) = f(y). Dann ist g(f(x)) = g(f(y)), allerdings gilt g(f(x)) = x und g(f(y)) = y, d.h. es folgt x = y. Also ist f injektiv. Wenn umgekehrt ein x aus X gegeben ist, setzen wir y = f(x) und erhalten g(y) = g(f(x)) = x. Also ist g surjektiv. Bis morgen zur Analysis-Vorlesung um 10.15 Uhr im Hörsaal VI.