Geradengleichung durch zwei Punkte bestimmen. Ableitungen von Funktionen berechnen.

Question

Aufgabe:

1. Bestimme rechnerisch die Geradengleichung der Geraden g, die durch die beiden Punkte P(5|1) und Q (-2|4,5) verläuft.

2. Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 1/2 x² - 3/2

a) Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge von f an.

b) Zeichne das Schaubild Gf der Funktion f für x E ( -4;4)in ein Koordinatensystem ein.

c) Berechne alle Schnittpunkte von Gf mit der x-Achse.

3, Berechne ausführlich (d.h. ohne Ableitungsregeln zu verwenden) die Ableitung der Funktion f mit f(x)= x²+x an der Stelle x_{0} = -1.

4. Gib jeweils die Ableitungsfunktion f' der Funktion f an:

a) f(x) = 2x^{4} - 5x^{2} + x - 5,5
b) f(x) = 1/3x^{-3} -3 / 2 x^{-2} - x^{-1}
c) f(t) = x^{5} + t5

5. Wie verändert sich der Graph Gf der Ableitungsfunktion f, wenn der Graph Gf der Funktion f

a) nach unten verschoben wird.
b) nach oben verschoben wird.

6. Gibt es eine Stelle x_{0}, an der die drei Funktionen f mit f(x)=x^{2}+3, g mit g(x)=2/3 x^{3} sowie h mit h(x)=2x + 6 die gleiche Ableitung haben?

Answer 1

1. Bestimme rechnerisch die Geradengleichung der Geradeng, die durch die Beiden Punkte P(5/1) und Q (-2/4,5) verläuft.

Am einfachsten ist die Punkt-Steigungs-Form.

f(x) = (1 - 4,5)/(5 - (-2))*(x - 5) + 1

Man braucht das nicht mal vereinfachen wenn es nicht gefordert ist.

f(x) = -1/2*(x - 5) + 1 = -0,5x + 3,5

2.Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 1/2 x^2 - 3/2
a ) gib die definitionsmenge und die wertemenge von f  an

D = R

W = [-3/2 ; ∞]

b)Zeichne das Schaubild Gf der Funktion f für x E ( -4;4)in ein Koordinatensystem ein

c) berechne alle Schnittpunkte von Gf mit der x-Achse

f(x) = 0

1/2 x^2 - 3/2 = 0

x = +- Wurzel(3)

3. Berechne ausführlich(d.hOhne Ableitungsregeln zu verwenden) die Ableitung der Funktion f mit f(x)= x^2 + x an der Stelle x0= -1

f(x + h) - f(x) / h

= ((x + h)^2 + (x + h) - x^2 - x) / h

= (x^2 + 2h + h^2 + x + h - x^2 - x) / h

= (2xh + h^2 + h) / h

= (2x + h + 1) für h -> 0 ist der Term 

= 2x + 1

= 2*-1 + 1 = -1

4. Gib jeweils die Ableitungsfunktion f´der funktion f an:
a) f(x)= 2x^4 - 5x^2 + x - 5,5

f'(x) = 8x^3 - 10x + 1

b) f(x)=1/3 x^-3 - 3/2 x^-2 - x^-1

f'(x) = -x^-4 + 3x^-3 + x^-2

c) f(t) = x^5 + 5t

f'(t) = 5

5.wie verändert sich der Graph Gf der Ableitungsfunktion f wenn der Graph Gf der Funktion f
a ) nach unten verschoben wird

gar nicht

b) nach oben verschoben wird

gar nicht

6. gibt es eine stelle x_{0}, an der die drei Funktionen f mit

f(x)=x hoch 2+ 3, g mit

f'(x) = 2x

g(x)=2/3 x hoch 3 sowie h mit

g'(x) = 2x^2

h(x)=2x + 6 die gleiche Ableitung haben ?

h'(x) = 2

An der Stelle x_{0} = 1 haben alle die Steigung 2.

Answer 2

Nur zu 1) Geradengleichung y = m*x + n Bei 2 Punkten P(x,y) ist jede gerade beschreibbar. Jeweils einen Punkt in die allg. geradengleichung einsetzen: P(5,1) 1 = m*5 + n P(-2,4.5) 4,5 = m*(-2) + n Die erste Gleichung nach n umstellen n = 1 - 5m und in die andere Gleichung einsetzen 4,5 = -2m + 1 - 5m - 7m = 3,5 m = - 0,5 (Anstieg) Dann folgt für n = 1 - 5*(-0,5) = 3,5 (Schnittpunkt mit y-Achse) daraus folgt die Gleichung y = -0,5x + 3,5

Comments

Kannst du nicht mal die Aufgaben ganz lösen?

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Warum ? Ist das Pflicht ? Wenn ja bitte ich um Vergebung und gelobe Besserung ;)

Answer 3

1 )allgemeine Form der Geradengleichug  y=mx+c, die beiden gegeben Punkte einsetzen , so erhält man zwei  Gleichungen

     1=5m+c         ⇒    c=1-5m  unten  einetzen

 4,5=-2m+c         ⇒4,5=-2m+1-5m

                                m=-0,5         ⇒b==3,5

   f(x)=-0,5x+3,5

2. Nullstelle bestimmen , die Gleichung  f(x)=0 setzen

    f(x) =1/2 x²-3/2

       0=1/2x²-3/2

    3/2=1/2x²

    3=x²      ⇒    x_1,2=±√3

    Die Funktion stellt  eine Parabel dar, mit dem Streckfktor 1/2 , Scheitelpunkt bei  S(0| -3/2), nach oben geöffnet

4) f´(x) = 8x³-10x+1

    f´(x)=-1 x^{-4}+3x^{-3}+x^{-2}

    f´(x)=5x^4