Bestimmen sie den Konvergenzradius R von der Potenzreihe:

Question

$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1}$$

und zeigen Sie, dass
$$arctan(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1}$$
für x∈[-R,-R].

Answer 1

Klammere ein \(x\) aus und substituiere \(x^2=z\). Man erhält:

$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} = x \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}z^k $$ nach dem Quotientenkriterium berechne ich zunächst einen Wert \(a\) $$\begin{aligned} a &= \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \\ &= \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^{k+1} (2k+1)}{(2(k+1)+1)(-1)^k}\right| \\ &= \lim_{k \to \infty} \frac{2 + \frac1k}{2 + \frac3k} \\ &= 1 \end{aligned}$$ und der Konvergenzradius \(\rho\) ist dann \(\rho = \frac1a= 1\) für \(z\)

Entwickele die Taylorreihe von \(\arctan x\) um den Punkt \(x=0\), dann erhältst Du

$$\arctan x = x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7 + \dots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k + 1} x^{2k+1}$$

siehe auch: wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens