Antwort mit KI erzeugt
Logikformel umformen auf Negation, Dis- und Konjunktion
Um die gegebene Formel nur mit Negation, Disjunktion (OR) und Konjunktion (AND) darzustellen, schauen wir uns zunächst die Formel an:
\(
\bigvee _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i }^{ } } \Leftrightarrow \bigwedge _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i }^{ } }
\)
Die Formel verwendet eine Äquivalenz (\(\Leftrightarrow\)), die besagt, dass die linke Seite genau dann wahr ist, wenn auch die rechte Seite wahr ist und umgekehrt. Die Äquivalenz kann umgeschrieben werden in eine Kombination aus Disjunktion (\(\vee\)), Konjunktion (\(\wedge\)) und Negation (\(\neg\)):
\(
A \Leftrightarrow B \equiv (A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B)
\)
Unter Verwendung dieses Prinzips kann die ursprüngliche Formel folgendermaßen umgeschrieben werden:
\(
\big(\bigvee _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i } } \wedge \bigwedge _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i } }\big) \vee \big(\neg\bigvee _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i } } \wedge \neg\bigwedge _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i } }\big)
\)
Das bedeutet, dass die Äquivalenz ausgedrückt wird als eine Disjunktion zwischen:
1. Der Konjunktion der ursprünglichen Disjunktion und Konjunktion.
2. Der Konjunktion der Negation beider dieser Aussagen.
Verknüpfungstafel
Für die Verknüpfungstafel der umgeformten Formel betrachten wir, dass jede der \(F_i\) Variablen \(i=1, 2, 3\) entweder wahr (\(w\)) oder falsch (\(f\)) sein kann. Wegen der Komplexität der umgeformten Äquivalenz ist es sinnvoll, zunächst einige Zwischenergebnisse zu berechnen:
1. \(D = \bigvee _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i } }\) – Das Ergebnis der Disjunktion aller \(F_i\).
2. \(K = \bigwedge _{ i=1 }^{ 3 }{ { F }_{ i } }\) – Das Ergebnis der Konjunktion aller \(F_i\).
Dann können wir die Ausdrücke \(D\) und \(K\) in die umgeformte Gleichung einsetzen:
\(
\big(D \wedge K\big) \vee \big(\neg D \wedge \neg K\big)
\)
Die Verknüpfungstafel könnte so aussehen:
\(
\begin{array}{ccc|c|c|c}
F_1 & F_2 & F_3 & D = F_1 \vee F_2 \vee F_3 & K = F_1 \wedge F_2 \wedge F_3 & \big(D \wedge K\big) \vee \big(\neg D \wedge \neg K\big) \\
\hline
f & f & f & f & f & w \\
f & f & w & w & f & f \\
f & w & f & w & f & f \\
f & w & w & w & f & f \\
w & f & f & w & f & f \\
w & f & w & w & f & f \\
w & w & f & w & f & f \\
w & w & w & w & w & w \\
\end{array}
\)
In der Verknüpfungstafel zeigt das letzte Ergebnis konkret, ob die umgeformte Äquivalenz unter den gegebenen Wahrheitswerten der \(F_i\) wahr (\(w\)) oder falsch (\(f\)) ist. Beachten Sie, dass die Äquivalenz (und damit die umgeformte Formel) wahr ist, wenn alle \(F_i\) falsch sind oder alle wahr sind. Dies ist konsistent mit der Definition einer Äquivalenz, bei der beide Seiten der Gleichung wahr sein müssen, damit die gesamte Äquivalenz wahr ist, oder beide Seiten falsch sein müssen, damit sie ebenfalls wahr ist.
