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Abend!

Ich muss diese Ungleichung hier lösen: $$\frac{x}{|x+3|}<\frac{1}{|x-1|}$$ und habe dazu ein paar Fragen.

1) Darf ich den(die) Nenner wegmultiplizieren, mir fällt gerade das passende Wort nicht ein, also so hier \(x\cdot |x-1|<|x+3|\)?

2) Wie komme ich auf die passenden Lösungen?

Ich weiß, dass eine Fallunterscheidung für x<-3 , -3<x<1 ,1< x  nötig ist, nur bekomme ich es nicht hin.

1.Fall:

x<-3

-x*(-(x-1))< -(x+3) <=> x^2-x<-x-3 <=>x^2<-3 ist nicht definiert.

2.Fall:

-3<x<1

-x*(-(x-1))< x+3 <=> x^2-x<x+3 <=> x^2-2x-3<0 => x_1>3, x_2<-1   


3.Fall:

x*(x-1)<(x+3) <=> x^2-x>x+3 <=>x^2-2x-3<0  => x_1>3, x_2<-1


Und alle meine Lösungen sind totaler Unsinn.

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Hallo

 ich sehe keinen Nenner, und kann x|x-1 nicht interpretieren, da du von Nenner sprichst ist es x/(x+3)<|x-1| oder  was anderes? aus deiner Umformung kann ich es auch nicht ablesen.

 wenn ein Nenner ein Betrag ist, kannst du einfach mit ihm multiplizieren wenn nicht muss man auf das Vorzeichen des Nenners acht.

also schreib deine Aufgabe deutlicher.

Gruß lul

Hallo lul, die Aufgabe lautet x/|x+3|<1/|x-1|

2 Antworten

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$$\dfrac{x}{|x+3|}<\dfrac{1}{|x-1|}$$--------------------
1. Fall: \(x<-3\)
In diesem Fall gibt es nichts zu tun, denn die Ungleichung wird offensichtlich immer erfüllt, ist also äquivalent zu$$x<-3$$--------------------
2. Fall: \(-3<x<1\)
Jetzt ist die Ungleichung äquivalent zu$$\dfrac{x}{x+3}<\dfrac{1}{1-x}\quad\land\quad-3<x<1$$Durch das Umkehren der Differenz im rechten Nenner sind beide Nenner positiv und wir lösen die Brüche auf zu$$x-x^2<x+3\quad\land\quad-3<x<1\\-3<x^2\quad\land\quad-3<x<1$$Das wird genau dann erfüllt, wenn$$-3<x<1$$--------------------
3. Fall: \(1<x\)
Beide Betragsargumente sind hier positiv und die Ungleichung entspricht$$\dfrac{x}{x+3}<\dfrac{1}{x-1}\quad\land\quad1<x\\x^2-x<x+3\quad\land\quad1<x\\x^2-2x-3<0\quad\land\quad1<x\\(x+1)(x-3)<0\quad\land\quad1<x$$Der erste Faktor der linken Seite ist immer positiv, kann also weggelassen werden. Die verbleibenden Ungleichungen sind dann äquivalent zu$$1<x<3$$--------------------
Zusammenfassung:
Die Ungleichung wird genau dann erfüllt, wenn$$x<-3\quad\lor\quad -3<x<1\quad\lor\quad 1<x<3.$$

Avatar von 27 k

HI,

Warum ist Fall 1 so offensichtlich? Kann man dies nicht rechnerisch zeigen?

Die linke Seite ist negativ, die rechte positiv. Da etwas Negatives stets kleiner als etwas Positives ist, will man da nichts rechnerisch zeigen.

Die rechte Seite ist doch für x<-3 auch negativ Grundsätzlich ist doch dann eher die linke Seite positiv, da -x/-(x+3) = x/(x+3)? Ich verstehe die Logik dahinter gerade nicht



Und wieso dreht sich bei dir das Vorzeichen nicht (Fall 2) immerhin ist (1-x) negativ?

Im ersten Fall habe ich die Beträge gar nicht angetastet, die die Betragsungleichung wird doch so, wie sie da steht, bereits immer erfüllt.

Und statt im Fall zwei das Vorzeichen zu drehen, habe ich die Differenz gedreht. (1-x) ist  hier im übrigen positiv.

Im ersten Fall habe ich die Beträge gar nicht angetastet, die die Betragsungleichung wird doch so, wie sie da steht, bereits immer erfüllt.

Aber wie zeigt man dies? Ich sehe es für -3>x nicht.

Wie muss ich schauen?

Die etwas doofe Frage tut mir leid, aber ich sehe es tatsächlich nicht.


Und statt im Fall zwei das Vorzeichen zu drehen, habe ich die Differenz gedreht. (1-x) ist  hier im übrigen positiv.

Warum ist dies positiv?

Für x<-3 wird |x-1| zu -(x-1) = (1-x) warum ist dies positiv? Weil du hier noch einmal x<-3 verwendest? Dadurch würde es positiv werden, aber boar das ist mir zu kompliziert:) Kann man so etwas nicht einfacher regeln? Bzw. wie sieht man so etwas so schnell? Ich wäre da im Leben nicht draufgekommen.

Hm... wir setzen die Fallbedingung des 1. Falles, nämlich x<-3, voraus und gehen nun die einzelnen Komponenten der Ungleichung

x/|x+3|<1/|x-1|

durch:

x ist negativ,
|x+3| ist positiv,
1 ist positiv und
|x-1| ist positiv.

Damit ist x/|x+3|, also die linke Seite negativ und
1/|x-1|, also die rechte Seite, positiv. Und das nun

negativ < positiv

immer gilt, müssen wir nicht mehr beweisen.

ok verstehe ich nun:)

Darf man die Ungleichung auch so hier umschreibe?

$$x\cdot |x-1|<|x+3|$$


Dann wäre alles etwas einfacher

Die Ungleichung ist auch äquivalent zu dem Ungleichungssystem$$ x\cdot |x-1|<|x+3| \quad\land\quad x \ne -3 \quad\land\quad x \ne 1$$(Die beiden Ungleichungen rechts gehören dazu.)

Oh, dann wird es doch komplexer :(

Muss man das eigentlich so umständlich aufschreiben? oder kann man das und ... weglassen? Habe das noch nie so gemacht:)

Natürlich kannst du in irgendwelchen Quick-and-dirty-Rechnungen machen, was du willst, richtig im Sinne vom äquivalenten Aussageformen ist es aber so, wie ich es notiert habe.

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Zunächst mal ist die Frage ob es eigentlich

x·|x + 3| < |x - 1|

lauten sollte.

Und ob da irgendwo Brüche also Nenner sind.

Avatar von 488 k 🚀

Hallo

Ich muss mich für den obere Text entschuldigen, musste es mit dem Handy schreiben.

Also ich eigentliche Aufgabe lautet x/|x+3|<1/|x-1|?

Ich glaube ich habe die Lösung für den Zweiten und dritten Fall, beim ersten Fall bekomme ich allerdings nichts raus.

1Fall x<-3

x*-(x-1)<-(x+3) <=> -x^2+x<-x-3 <=> x^2-2x-3>0 => x>3 und x<-1

Also (-∞,-3)∩(-∞,-1)∩(3,∞) ist die Leere Menge ?

Oder sehe ich dies falsch?

x/|x + 3| < 1/|x - 1|

D = R \ {-3, 1}

x|x - 1| < |x + 3|

Fall 1: x < -3

x·(- (x - 1)) < - (x + 3) --> x < -1 ∨ x > 3 --> x < -3

Fall 2: -3 < x < 1

x·(- (x - 1)) < x + 3 --> wahr --> -3 < x < 1

Fall 3: x > 1

x·(x - 1) < x + 3 --> -1 < x < 3 --> 1 < x < 3

Lösungszusammenfassung

x ≠ -3 ∧ x ≠ 1 ∧ x < 3

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