Ich brauche eure Hilfe um folgende Aufgabe zu lösen:
Es seien Vektoren s, v aus R gegeben, wobei s ungleich 0 gelte.
(a.1) Bestimmen Sie Lambda aus R derart, dass der Vektor $$v_{1}:=v- λs$$ orthogonal zu s ist.
(a.2) Zeigen
Sie zusätzlich, dass der Vektor $$ v_{2}:=λs$$
höchstens so lang wie der ursprünglicher
Vektor v ist, d. h. $$\Vert v_{1}\Vert\leq \Vert v\Vert$$
(b) Berechnen Sie explizit die Zerlegung v = v1 + v2 aus Teilaufgabe (a) für die beiden
Vektoren s = (1;-2; 1; 3) und v = (4;-4; 8; 4) des $$ \mathbb{R}^{4}$$
Zur (a.1) habe ich mir bisher folgendes überlegt:
$$\text{Sei s,v }\in \mathbb{R} \text{ und } s \neq 0 \text { und v1 definiert als } v_{1}:=v- λs \\ \text{Gesucht Sei λ aus } \mathbb{R} \text{ für dass gilt: } s\perp v_{1} \\ \text{Beweis:} \\\langle s,v_{1}\rangle =0 \\\langle s,v- λs\rangle =0 \\\langle s(v-λs)\rangle=0 \\\langle sv\rangle\langle-λss\rangle=0 \ \\λ=\frac{\langle sv \rangle}{\langle ss \rangle}$$
Ist meine Beweisführung richtig? Falls nicht könnt Ihr mir den Ansatz liefern was ich genau machen muss?
Aufgabe (a.2) verstehe ich nicht ganz wie ich es beweisen muss
Aufgabe (b) verstehe ich auch nicht, was genau von mir verlangt wird. (Muss ich jetzt Lambda explizit für v1, v2 bestimmen oder komplett was anderes machen? Eine Hilfestellung wäre extrem Hilfreich!
