8 weiße aus 12 Kugeln mit Zurücklegen ziehen. Wo ist der Fehler?

Question

ich hadere gerade mit einer vermeintlich leichten Aufgabe:

12 Kugeln in einer Urne, 8 davon weiß. 4 werden zufällig mit Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 schwarze gezogen werden.

Einerseits kann man das per Baumdiagramm (bzw. Pfadmultiplikation) lösen.
Da komme ich auf:

[\( \frac{8}{12} \) * \( \frac{8}{12} \) * \( \frac{8}{12} \) * \( \frac{4}{12} \)] + [\( \frac{8}{12} \) * \( \frac{8}{12} \) * \( \frac{4}{12} \) * \( \frac{8}{12} \)] + [\( \frac{8}{12} \) * \( \frac{4}{12} \) * \( \frac{8}{12} \) * \( \frac{8}{12} \)] + [\( \frac{4}{12} \) * \( \frac{8}{12} \) * \( \frac{8}{12} \) * \( \frac{8}{12} \)] = \( \frac{32}{81} \)

Ich denke, das Ergebnis stimmt auch.

Nun wollte ich es spaßhalber mal mit Kombinatorik lösen:

Da es sich hier um eine Kombination mit Wiederholung handelt, gibt es insgesamt \( \begin{pmatrix} 12+4-1\\4 \end{pmatrix} \) = 1365 Möglichkeiten, 4 aus den 12 Kugeln zu ziehen.

Wenn es genau 3 sein sollen, gibt es dafür \( \begin{pmatrix} 8+3-1\\3 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 4+1-1\\1 \end{pmatrix} \) = 120 * 4 = 480 Möglichkeiten.

Also müsste demnach die gesuchte Wahrscheinlichkeit \( \frac{480}{1365} \) = \( \frac{32}{91} \) sein.
Wieso erhalte ich hier ein anderes Ergebnis? Die kombinatorische Variante ist offenbar falsch, aber ich sehe nich wo?

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Vielleicht sollte ich nochmal anders fragen:

Wieso, ist die Lösung \( \frac{\begin{pmatrix} 8+3-1\\3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4+1-1\\1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 12+4-1\\4 \end{pmatrix}} \) falsch?

Also abgesehen davon, dass ich mich in der Aufgabenstellung vertan habe und 3 weiße Kugeln gezogen werden sollen und NICHT 3 schwarze.

Answer 1

Die hypergeometrische Verteilung \( P(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\) beruht ja letztendlich auf der Berechnung einer Laplace Wahrscheinlichkeit, bei der alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Das funktioniert, weil beim "Ziehen mit einem Griff" jede Kombination in der Tat die gleiche Wahrscheinlichkeit hat gezogen zu werden - selbst wenn sie nacheinander gezogen würden, bleibt die Whk jeder Kombination gleich, da es jeweils k! Möglichkeiten gibt diese zu ziehen.

Dies ist allerdings nicht direkt auf Kombinationen mit Wdh. übertragbar, da das Zurücklegen eine Reihenfolge impliziert und nicht jede Kombination gleichwahrscheinlich ist. Bei deinem Bsp. gibt es für die Kombination {s1;s1;s1;s1} nur eine Möglichkeit, während {s1,w1,w3,s2} auf 4! Arten gezogen werden kann, {s2,s1,s2,s1} auf \(\binom{4}{2}\) Möglichkeiten.

Wenn du die Whk. mit Kombinatorik und Laplace berechnen willst, solltest du das Modell mit Reihenfolge benutzen, was zu genau der gleichen Rechnung führt, wie mit dem Baumdiagramm:

$$P(X=k)=\frac{\binom{n}{k}\cdot M^k\cdot (N-M)^{n-k}}{N^n}=\frac{\binom{4}{3}\cdot 8^3\cdot (12-8)^{4-3}}{12^4}=\frac{4\cdot 8^3 \cdot 4^1}{12^4}=\frac{32}{81}$$

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Jetzt habe ich es, denke ich, verstanden.

Answer 2

Hallö,

12 Kugeln in einer Urne, 8 davon weiß. 4 werden zufällig mit Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 schwarze gezogen werden.

Wenn man davon ausgeht, dass 4 Kugeln schwarz sind:

Die Wahrscheinlichkeit für "schwarze Kugel" ist doch wohl 4/12

P ("genau 3 schwarz") = 4*(8/12*4/12*4/12*4/12) = 8/81

Gruß Wolfgang

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Es war wohl doch zu spät gestern: Es sollen genau 3 weiße Kugeln gezogen werden und nicht schwarze.

Sorry für die Verwirrung.

Answer 3

Binomialverteilung:

(4über3)*(1/3)^3*(2/3)^1

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Es sollen 3 weiße gezogen werden. Fehler meinerseits, sorry.

Wie kann ich die Anzahl der Möglichkeiten für genau 3 weiße denn über Kombination (en) abzählen?

Bzw. kannst du vlt. deine Formel in Worte fassen, bitte?

Besten Dank.

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https://matheguru.com/stochastik/bernoulli-kette.html