Question

Sei C2 (R) der Vektorraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen R → R.
(a) Zeigen Sie: Alle Funktionen f ∈ C2 (R), die die Differentialgleichung (Schwingungs-gleichung) f'' + 2af' + bf = 0 (für konsante Werte  a, b ∈ R)
erfüllen, bilden einen Unterraum von C2 (R).
(b) Zeigen Sie, dass die Funktionen
g1 : R → R, x → sin(λx) und g2 : R → R, x → cos(λx)
fur ein fest gewähltes λ ∈ R Lösungen der Differentialgleichung
f'x+ λ^2 f = 0

sind. Zeigen Sie, dass die Funktionen g1, g2 linear unabhängig sind.

Könnte man hier jemand beim lösen helfen bitte?

Answer 1

a) du musst zeigen, dass die UVR-Krit. erfüllt sind.

i) nicht leer: klar, f=0 bsp.

ii) Sind zwei Lösungen f_1 und f_2 gegeben, so ist auch eine beliebige  Linearkombination von

f_1 und f_2  eine Lösung. Das gilt, weil dies eine lineare DGL mit konst. Koeffizienten ist.

b) du musst zeigen , dass

asin(lambda x)+ b COS(lambda x ) =0

nur gilt, wenn a=b=0 (für alle x natürlich)

Tipp: betrachte den Term

Asin(lambda x +phi) und vergleiche.

Comments

Könnte man dies für die Aufgabe a.)  so schreiben? Habe ich aus der Aufgabe richtig heraus gelesen, dass R Teilmenge von C^2 ist?

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Naja, den Anfang hast du ja nur abgeschrieben, das passt so ;).

Wenn du ii) beweisen willst musst du zwei Funktionen nehmen und deren Linearkombination in die DGL einsetzen. Dann reproduziert sich die Summe der jeweiligen DGL für beide Funktionen, kurz gesagt steht dann dort 0+0=0.

dass R Teilmenge von C2 ist?

Nein, C^2(|R) ist ein Funktionen Raum. Dessen Elemente sind reelle Funktionen, deshalb steht |R in der Klammer.

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Okay danke.

Heißt es dann damit das bspw. Hier in dem Fall f nicht die leere Menge betragen darf? Weil wir sollen das immer anhand der 3 Voraussetzungen eines untervektorraums beweisen. Und ich weiß jetzt nicht genau, was nicht die leere Menge betragen darf

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f ist eine Funktion und keine Menge. f kann also keine leere Menge sein.

Du meinst C^2≠∅. Das haben wir in i)

schon gezeigt.

ii) musst du nochmal genauer hin schreiben. Also nimm

f_3 =alpha*f_1 + beta*f_2

Und setze in die DGL ein.

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Ich hänge gerade wirklich. Könntest du mir einmal zeigen  wie das geht, bzw. Was du meinst?