Potenzfunktionen: Wie hoch sind die Berge?

Question

Durch vulkanische Aktivitäten haben sich im Laufe der Jahrtausende in der Karibik zwei neue Inseln gebildet.

Das Relief der Inseln wir unter und über dem Meeresspiegel annähernd beschrieben durch folgende Funktion.

h(x)=-2/55 x4 +25/88x2 -11/160

wie hoch sind die berge?

wie weit sind die inseln voneinander entfernt?

könnte man zu fuß von einer zur anderen Insel laufen? welche tiefe hat das wasser zwischen den beiden inseln?

Answer 1

Wie hoch sind die Berge? Hier geht es um die Funktionswerte der Hochpunkte: Wenn die Koordinaten in km gegeben sind, sind das ≈0,486 km

Wie weit sind die inseln voneinander entfernt? Hier geht es um den Abstand der beiden Hochpunkte: Dieser beträgt 3,053 km.

Könnte man zu Fuß von einer zur anderen Insel laufen? welche tiefe hat das wasser zwischen den beiden inseln? Hier geht es um den Funktionswert des Tiefpunktes: Dieser ist mit 68 m zu tief, um zu Fuß zu gehen.

Answer 2

Berechne die erste Ableitung und setze sie gleich Null.

Die entstehende Gleichung dritten Grades hat 3 Nullstellen.  Das sind die Extremstellen der Funktion.

Erkunde mit Hilfe der zweiten Ableitung, welche der Extremstellen Maximumstellen sind.

Setze die beiden Stellen in die Funktionsgleichung ein, du erhältst als Funktionswert die Höhe der beiden (gleich hohen) Inseln.

Die Exxtremstelle, die keine Maximumstelle ist, ist eine Minimumstelle.

Ihr Funktionswert beschreibt die größte Wassertiefe zwischen beiden Inseln.

Jetzt bist du dran. Hau rein!

Answer 3

sieht so aus:

~plot~ -2/55 x^4 +25/88x^2 -11/160  ~plot~

Berechne die Hochpunkte, das gibt die Bergeshöhen

Abstand der Inseln ergibt sich durch die

inneren Nullstellen und die

Meerestiefe dazwischen durch f(0).

Answer 4

Wie hoch sind die Berge?

\(f(x)=-\frac{2}{55}x^4+\frac{25}{88}x^2-\frac{11}{160}\)

\(f'(x)=-\frac{8}{55}x^3+\frac{25}{44}x\)

\(f''(x)=-\frac{24}{55}x^2+\frac{25}{44}\)

Berechne nun \(f'(x)=0\) und setzte in \(f''(x)\) ein - für den Hochpunkt gilt \(f''(x)<0\)

Wie weit sind die inseln voneinander entfernt?

Substituiere \(x^2:=z\), dann \(f(z)=0\) ausrechnen und zurück substituieren. Der Betrag der Differenz (derjenigen Nullstellen, die am nächsten zum Ursprung sind) ist die Entfernung.