Vereinigungsmenge und Schnittmenge von unendlich vielen Mengen von rationalen Zahlen bestimmen?

Question

Weiß jemand, wie man das bestimmen kann? Ich find keine Lösung dazu und versteh die Aufgabe auch nicht ganz.

In Meiner Menge sind alle x aus Q für die gilt dass x zischen bsp -0.5 und +0.5 liegt usw jenachdem was ich für n einsetze. Aber wie hilft mir das weiter? Danke für eure Hilfe

Vereinigungsmenge und Schnittmenge von unendlich vielen Mengen von rationalen Zahlen bestimmen?

Answer 1

Schreibe ein paar dieser Mn explizit hin. Das sind alles Teilmengen der folgenden offenen Intervalle.

A1 = (-1 , 1)

A2 = (-1/2, 1/2)

....

A7 = (-1/7, 1/7)

A100 = (-1/100, 1/100)

Die Intervalle liegen alle "ineinander". A_(n+1) c A_(n), für alle n Element N.

Nun zur Frage:

a) Was bekommt man, wenn man alle diese Intervalle miteinander vereinigt? Es resultiert die Menge aller rationaler Zahlen im grössten Intervall A1.

b) Was bekommt man, wenn man alle diese Intervalle miteinander schneidet? Es gibt neben der Zahl 0 keine weitere Zahl, die in allen Mengen enthalten ist. D.h. "Schnittmenge ... " = {0} . 0 ist eine rationale Zahl. Darum ist 0 erlaubt in der Schnittmenge. 

Comments

Danke schonmal für die schnelle Antwort. Ich werd mir das mal angucken und nochmal auf die Frage zurück kommen falls ichs nicht versteh. Ich glaub ich denke zu kompliziert.

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Bitte. Ich habe übrigens die Intervalle umbenannt. Statt M habe ich A verwendet. Nun bleibt M reserviert für die rationalen Teilmengen von A und ich habe keine Doppelverwendung von Symbolen.

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Also wenn ich es richtig verstanden habe, habe ich bei der Vereinigung alle Mengen (Intervalle?) der Familie alle x drinnen, die zwischen -1 und 1 liegen.

Die b) verstehe ich noch nicht ganz:

Wenn ich das Intervall A₁  (-0,5 , 0,5) mit dem Intervall A₂ (-1/3 , 1/3) schneide, sind dann nicht alle Werte von Intervall A₂ im Intervall A₁ ? Ich stelle mir das wie einen Zahlenstrahl vor... denke ich falsch?

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Also wenn ich es richtig verstanden habe, habe ich bei der Vereinigung alle Mengen (Intervalle?) der Familie alle rationalen x drinnen, die zwischen -1 und 1 liegen.

Ja.

Die Intervalle A enthalten auch irrationale Zahlen, wie z.B. 1/√(300). Die Mengen M sind "dichte" Teilmengen dieser Intervalle. 

Die b) verstehe ich noch nicht ganz:

Wenn ich das Intervall A_{1 } (-0,5 , 0,5) mit dem Intervall A_{2} (-1/3 , 1/3) schneide, sind dann nicht alle Werte von Intervall A_{2} im Intervall A_{1} ? Ich stelle mir das wie einen Zahlenstrahl vor... 

Das ist genau richtig. Daher ist die Schnittmenge A1 n A2 = A2 . Ebenso M1 n M2 = M2.

Und M1 n M2 n M3 n … n M100 = M100

usw.

Alle unendlich vielen Intervalle  haben nur ein gemeinsames Element: Die Zahl 0.

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Ah okay ich habs verstanden, Wie schreibe ich das jetzt formal auf?

Kann ich einfach schreiben U_nelementvonN M_n = {x element von Q | x >= -1 und x<=1}?

Danke für deine Hilfe :)

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Gleich musst du weglassen.

a)

U_{nelementvonN} M_{n} = {x element von Q | x > -1 und x<1}?