Differenz von Menge und Vereinigungsmenge gleich Schnittmenge der Differenzen?

Question

Aufgabe:

Es sei \( I \) eine nichtleere Menge und für jedes \( i \in I \) sei \( M_{i} \) eine Teilmenge der nichtleeren Menge \( M . \) Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung gilt:
\( M \backslash\left(\bigcup_{i \in I} M_{i}\right)=\bigcap_{i \in I}\left(M \backslash M_{i}\right) \)

Ich war zwar in der Vorlesung, aber dort hat der Prof nur beschrieben, was diese Formel im Allgemeinen bedeutet.

Answer 1

$$x\in M\backslash(\bigcup_{i\in I}M_i)\iff x\in M \wedge x\notin \bigcup_{i\in I}M_i\iff\\x\in M \wedge (\forall i \in I:\; x\notin M_i)\iff\forall i\in I:\; x\in M\backslash M_i\iff\\x\in \bigcap_{i\in I} (M\backslash M_i)$$