Mengenlehre. Zeigen, dass A\(B\C) = (A\B) ∪ (A∩C)

Question

ich habe folgende Aufgabe, an der ich derzeit etwas verzweifle:

Zeigen sie, dass für alle Mengen A, B und C gilt:

A\(B\C) = (A\B) ∪ (A∩C)

(Leider habe ich es nicht auf der Tastatur gefunden, aber das / müsste eigentlich andersrum sein)

Ich habe zwar eine Lösung, die meiner Meinung nach aus logisch klingt, aber in den meisten Fällen ist das bei mir dann falsch. Und zwar habe ich bisher folgendes

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(1) A\(B\C) ⊆ (A/B) ∪ (A∩C)

Sei x ∈ A und x∉ (B/C), dann gilt x∈A und x∉B und x∈C [Hier bin ich mir unsicher]. Also gilt x∈A∩C und x∈A/B. Daraus folgt x∈(A/B) ∪ (A∩C).

Also gilt A\(B\C) ⊆ (A\B) ∪ (A∩C) *

(2) (A\B) ∪ (A∩C)⊆A\(B\C)

Sei x∈(A\B). Dann gilt x∈A und x∉B.

Sei x∈(A∩C). Dann gilt x∈A und x∈C.

Daraus folgt: x∈A und x∉(B/C) bzw. x∈A\(B\C)

Also gilt (A\B) ∪ (A∩C)⊆A\(B\C) **

Aus * und ** folgt: A\(B\C) = (A\B) ∪ (A∩C)

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Bei dem ganzen 2. Schritt bin ich mir sehr unsicher.

Ich bin für jeden Tipp oder Korrekturvorschlag dankbar. Vielleicht sind meine Zweifel ja auch unbegründet. Danke für jedes Feedback und euch noch einen schönen Abend.

Comments

(Leider habe ich es nicht auf der Tastatur gefunden, aber das / müsste eigentlich andersrum sein)

Back-slash " \ "  schreibe ich auf der CH-Mactastatur mit "shift alt / "

Habe oben deine / in \ umgewandelt und hoffe, das passt so.

@Beweis: Betrachte schon mal die "ähnlichen Fragen". Bsp. https://www.mathelounge.de/483834/zeigen-sie-fur-die-mengen-a-b-c-a-a-b-a-b

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vielleicht man könnte auch mit Logik arbeiten, dann wäre:

$$A\setminus (B\setminus C)\\ \approx \quad A\quad \wedge \quad \neg (B\quad \wedge \quad \neg C)\\ \approx \quad A\quad \wedge \quad (\neg B\quad \vee \quad C)\\ \approx \quad (A\quad \wedge \quad \neg B)\quad \vee \quad (A\quad \wedge \quad C)\\ \approx \quad (A\setminus B)\quad \quad \cup \quad (A\cap C)$$

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(⇒)

$$A\setminus (B\setminus C)\\ \\ \approx \quad A\quad \wedge \quad \neg (B\quad \wedge \quad \neg C)\quad \\ bzw\quad x\quad \in \quad A\quad und\quad x\quad \notin \quad (B\setminus C)\\ \approx \quad A\quad \wedge \quad (\neg B\quad \vee \quad C)\quad \quad \\ bzw\quad x\quad \in \quad A\quad und\quad (x\quad \notin \quad B\quad oder\quad x\quad \in \quad C)\\ \approx \quad (A\quad \wedge \quad \neg B)\quad \vee \quad (A\quad \wedge \quad C)\quad \\ bzw\quad (x\quad \in \quad A\quad und\quad x\quad \notin \quad B)\quad oder\quad (x\quad \in \quad A\quad und\quad x\quad \in \quad C)\\ \approx \quad (A\setminus B)\quad \quad \cup \quad (A\cap C)\\ bzw\quad x\quad \in \quad ((A\setminus B)\quad \quad \cup \quad (A\cap C))\\ \\ $$

Answer 1

x∉ (B\C)

Das heißt nicht, dass x∈C sein muss. x muss nur dann Element von C sein, wenn x∈B ist. Es gilt also x∉B oder x∈C.

Zeichne dir Mengendiagramme dazu, insbesondere Venn-Diagramme.

(2) (A\B) ∪ (A∩C)⊆A\(B\C)

Sei x∈(A\B) ∪ (A∩C)

Dann ist x∈ A∩C oder x ∈ A\B.

Fall 1: x ∈ A∩C. Dann ist x ∈ A. Außerdem ist x ∈ C, also x ∉ B\C.

Fall 2: x ∈ A\B. Dann ist x ∈ A. Außerdem ist x ∉ B, insbesondere also auch x ∉ B\C.

In beiden Fällen ist also x ∈ A und x ∉ B\C, somit ist auch x ∈ A\(B\C).