Zahlenfolgen -6, 0, -6, 0, -6, 0… Formel angeben?

Question

Ich bitte um erklärung dieser aufgabe ..... danke im voraus ... ^^

Answer 1

Hallo Chingo,

es ist nach einer expliziten Formel gefragt. Man benötigt also einen Ausdruck \(e(n)\), der für gerade \(n\) zu eins und sonst zu null wird. Ausgehend von einer periodischen bzw. alternierenden Funktion, wie z.B. \((-1)^n\) kann man sich so einen Ausdruck konstruieren. Z.B. \(e(n) = \frac12((-1)^{n}+1)\) . Angenommen \(a_0=-6\), dann lautet die Formel:$$a_n  = (-6)\cdot \frac12((-1)^{n}+1)=-3((-1)^{n}+1)$$

(Terme in der Antwort etwas vereinfacht)

... und so kommt man drauf: Die Folge ist alternierend. Also benötigt man eine alternierende Basisfolge \(b_n\). Der Klassiker dafür ist \(b_n = (-1)^n\); Man könnte auch \(b_n = \cos(\pi n )\) wählen, aber das macht es nur komplizierter. Gesucht ist: $$a_n = -6, 0, -6 , 0, -6, \dots$$ \(b_n\) gibt aber nur her: $$b_n = 1, -1, 1, -1, 1, \dots$$ es gilt, eine Funktion \(f\) zu finden, die aus \(1\) eine \(-6\) und aus \(-1\) eine \(0\) macht; formal: \(f(1)= -6 \) und \(f(-1) = 0\). Da dies nur zwei Stützstellen sind, reicht eine lineare Funktion durch die zwei Punkte \((-1|0)\) und \((1|-6)\):  ~plot~ -3x-3;[[-3|+3|-8|2]];{-1|0};{1|-6} ~plot~ Die Steigung ist \(-6/2=-3\) und der Achsenabschnitt ist ebenso \(-3\) \(\implies f(x)=-3x-3=-3(x+1)\) und abschließend setzt man für das \(x\) die Basis \(b_n\) ein und erhält das gewünschte \(a_n\) $$a_n = -3((-1)^n+1)$$

Comments

guten morgen Werner :)

danke für die ANtwort

würde es auch reichen wenn ich schreibe:

gerade :   an = n*0-6

ungerade: an = n*0

???

oder ist das zu einfach gehalten???

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Hallo Chingo,

würde es auch reichen wenn ich schreibe:
gerade :  an = n*0-6
ungerade: an = n*0

natürlich kann man einfach schreiben: $$a_n = \left\{ \begin{array}{cl} -6 & n \equiv 0 \mod 2 \\ 0 & n \equiv 1 \mod 2 \\ \end{array}\right. $$ aber es befriedigt nicht die Aufgabenstellung. Es wurde ja  nach einer expliziten Formel gefragt, also wohl ohne Fallunterscheidung.

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mist ich verstehe es einfach null...ist bestimmt brutal einfach , aber ich komm nicht drauf :P

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überall wo n steht kommt also -6 rein ??

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hab es jetzt verstanden wie es funktioniert :)

jetzt sollte ich nur noch wissen wie man sich so eine formel zusammen stellen kann?

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Hallo Chingo,

jetzt sollte ich nur noch wissen wie man sich so eine Formel zusammen stellen kann?

da musst Du schon etwas genauer werden. Welche Formel möchtest Du 'zusammen stellen'?

Meinst Du diese: $$a_n = \left\{ \begin{array}{cl} -6 & n \equiv 0 \mod 2 \\ 0 & n \equiv 1 \mod 2 \\ \end{array}\right.$$ oder diese $$a_n  =-3((-1)^{n}+1)$$ und wo genau ist bei dem einen oder anderem Fall Dein Problem?

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die hier:

an=−3((−1)n+1)

wie kommt man drauf diese formel zu bilden .... also ich weiß es soll ja ungerade 0 und gerade -6 rauskommen..... das macht die formel ja auch wenn man einsetzt...

aber wie kann man sich die formel aufstellen ? gibt es es tricks?

welches vorwissen brauch ich da ?

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aber wie kann man sich die Formel aufstellen ?

ich habe die Antwort dahingehend ergänzt (s.o.)

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werner !!! tausend dank ich habe es jetzt verstanden ....die basis hat viel erklärt bn

danke !!

Answer 2

a_n= - 3 - 3cos(π*n) wäre auch möglich.

Answer 3

a_n=6·(-1)ⁿ falls n ungerade

   =0 sonst

Answer 4

jetzt sollte ich nur noch wissen wie man sich so eine formel zusammen stellen kann?

Ok, unser Grundbaustein ist die Folge

( (-1)^n ) = (1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1,... )

Die Spannweite beträgt 2, soll aber 6 sein, also strecken wir mit dem Faktor 3:

( 3*(-1)^n ) = (3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3,... )

Die Zielfolge soll mit Minus beginnen, also hängen wir es noch davor:

( -3*(-1)^n ) = (-3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3,... )

Nun müssen wir die Folge noch nach unten verschieben, indem wir -3 dranhängen:

( -3*(-1)^n-3 ) = (-6, 0, -6, 0, -6, 0, -6, 0,... )

Damit sind wir auf einem einfachen Weg zu einem einfachen Ergebnis gekommen und sind fertig. Das ist aber nicht der einzige Weg und auch das Ergebnis ist nicht das einzige.