Wie kann ich zeigen, dass ℤ und ℚ die gleiche Mächtigkeit haben ?

Question

Wie kann ich zeigen das ℤ und ℚ die gleiche Mächtigkeit haben ?

Danke in voraus ;)

Answer 1

Ordne die Menge Q so an

1/2  1/3  1/4  1/5  ...

2/2  2/3  2/4  2/5  ...

3/2  3/3  3/4  3/5  ...

...     ...    ...   ...

und zähle dann so durch:

Comments

Ganz sauber ist das noch nicht, denn

- es gibt Dopplungen (die kürzbaren Brüche müssten übersprungen werden

- es werden nur positive Zahlen positiven Zahlen zugeordnet (lässt sich reparieren, indem man analog die negativen rationalen Zahlen den negativen ganzen Zahlen zuordnet)
- die 0 kann der 0 zugeordnet werden.

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Man kann sich auch ganz einfach auf bestimmte Eigenschaften abzählbarer Mengen berufen.

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Welche Eigenschaften ganz konkret ?

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Konkret: Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar.