Untervektorraum ohne Gleichheit

Question

Gegen ℝ Vektorräume W. Entscheide ob W ein Untervektorraum von ℝ² ist. Bestimme die Basis, falls W ein Untervektorraum ist.

a) W = { (x, 0)| x ∈ ℝ } ⊂ R²
b) W = { (x, x)| x ∈ ℝ } ⊂ R²
c) W = { (x, y)| x²+y²=1 } ⊂ R²
d) W = { (x, y)| xy = 0 } ⊂ R²

Unsere Definition:
(SS1) W closed with respect to addition: a + b in W, a, b in W
(SS2) W closed with repsect to scalar multiplication ...
Von 0 Element muss enthalten sein, steht nichts.

a) und b) sind komplett verschiedene Räume und daher nicht möglich.
c) geht nicht, weil 0^2 + 0^2 = 1 falsch ist
d) 0 ist immer ein Untervektorraum, aber wie gebe ich die Basis an?

Stimmt das soweit?

Answer 1

Du betrachtest hier den ℝ². Dessen UVR sind doch anschaulich gesprochen einfach alle Ursprungsgeraden sowie der Nullraum und der ℝ² selbst. Nimm dir doch jetzt einfach mal einen Stift und ein Papier. Zeichne dir die Mengen auf:

a und b sind also UVRs

c und d sind keine UVRs

Jetzt musst du das nur noch formal begründen.

Comments

Es leuchtet irgendwie schon ein. Aber R^2 ist ja kein UVR von R^3. Da dachte ich, das gleiche kann ich hier anwenden. Woran scheitert es bei d)?
Wie gibt man für a) b) eine Basis an?

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R^2 ist tatsächlich kein UVR vom R^3, R^2 x {0} aber schon. Und nichts anders betrachtest du in der a) die Menge ist R x {0} und nicht R.

Für a) ist eine Basis ((1,0))

Für b) z.B. ((1,1))

Bei der c scheitert es an der Addition

(1,0) und (0,1) sind in der W 1*0=0=0*1. Aber die Summe (1,1) liegt nicht in W.

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Vielen Dank für die Ausführung