Der Drei-Quadrate-Satz schließt die 0 mit ein. Genauer:
Es gibt ein Tripel \(x, y, z \in \mathbb{N}_0\) mit \(n = x^2 + y^2 + z^2\), wenn \(n\) nicht von der Form \(n = 4^a(8b + 7) \) mit \(a, b \in \mathbb{N}_0\) ist.
Für die 85 existieren die Tripel $$85 = 0^2 + 2^2 + 9^2 \space = 0^2 + 6^2 + 7^2$$ Ein Tripel, welches die 0 nicht enthält, existiert nicht.
Beweis: Für jede Quadratzahl \(q=n^2\) gilt $$q \equiv r \mod 8 \quad r \in \{0,1,4\} $$ Da \(85 \equiv 5 \mod 8\) ist, muss in dem Tripel \(\{x,y,z\}\) mit \(x^2+y^2+z^2=85\) jeder Rest \(r \in \{0,1,4\}\) genau einmal vorkommen. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit muss also gelten $$x^2 \equiv 0, \quad y^2 \equiv 4, \quad z^2 \equiv 1 \mod 8 $$ Für ein \(x \lt 10\) und \(x \in \mathbb{N}\) kommen nur die Zahlen \(x \in \{4,8\}\) in Frage. Entsprechend gilt \(y \in \{2,6\}\). Für ein \(z^2\) gibt es so nur vier Varianten: $$z^2 = 85 - 4^2 - 2^2 = 65 \\ z^2 = 85 - 4^2 - 6^2 = 33 \\ z^2 = 85 - 8^2 - 2^2 = 17 \\ z^2 = 85 - 8^2 - 6^2 \lt 0$$ keine der vier Varianten führt zu einem \(z^2\) mit \(z \in \mathbb{N}\).
