Komplexe Lösungen von |z|*z(komplex konjugiert)=i*z finden ?

Question

Ich habe eine Frage zu der Aufgabe :

|z|*z(komplex konjugiert)=i*z

Hierzu sollen wir Lösungen für a und b herausfinden, wobei a,b€R.
ich habe schon angefangen und bin bis hier hin gekommen:
a^3-3iba^2-ab^2-ib^3=-a-ib

weiter komme ich leider nicht:((
Kann einer bitte behilflich sein

Answer 1

Vermutlich soll z = a + ib sein.

a^{3}-3iba^{2}-ab^{2}-ib^{3}=-a-ib

weiter komme ich leider nicht:((

Woher hast du den Faktor 3 ?

Das Resultat ist auch falsch.

Du kannst in deiner Gleichung Real- und Imaginärteil trennen.

So bekommst du zwei Gleichungen für die 2 Unbekannten.

Wenn dein Anfang korrekt wäre, käme nun

Realteil       a^{3}-ab^{2}= -a
Imaginärteil  -3ba^{2}-b^{3}= -b

Aber: Du musst erst mal nochmals den Anfang sorgfältiger machen.

Answer 2

|z|*z(komplex konjugiert)=i*z

√(a^2+b^2) *(a-bi) = i * (a+bi) = -b + a*i  #

also muss gelten

√(a^2+b^2) * a = -b und  -b*√(a^2+b^2)= a

Erst mal für a und b ungleich 0, dann hast du

√(a^2+b^2) = -b/a   und    √(a^2+b^2)= -a/b

also -b/a = -a/b ==>   a^2 = b^2

Damit gibt #

|a|*√2  *(a-bi) = -b + a*i

|a|*√2  *a = -b   und  |a|*√2 * -b = a

wegen   a^2 = b^2  ist aber auch |a| = |b| , also

√2  *a = -b/|b|    und   -√2 * b = a / |a|

Jetzt gibt es ja nur noch ein paar Fälle; denn

a / |a| und  -b/|b|   sind entweder 1 oder -1 .

Die Fälle muss man dann mal durchgehen.

Außerdem bleiben noch die Fälle, die oben

nicht bedacht wurden a=0 oder b=0.

z.B. hast du für a=0 aus #

√(a^2+b^2) *(a-bi) = i * (a+bi) = -b + a*i  #

√(b^2) *(-bi) = i * (bi) = -b

links was imaginäres rechts was reelles, geht also

nur für b=0 insgesamt also   z = 0.

Entsprechend für b=0 .

entsprechend für