Question

Es seien a ∈ ℝ und b ∈ {0,1}. Bestimmen Sie die Menge in Abhängigkeit der Parameter a und b. Geben Sie eine geometrische Interpretation der Mengen L(a,b) an.

$$ L _ { a , b } = \left\{ \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { 3 }\right|\left. \begin{aligned} a x + y + z &= b \\ x + a y + z & = b \\ x + y + a z & = b \end{aligned} \right\} $$

Des weiteren soll ich das Ergebnis geometrisch interpretieren.

Answer 1

"Bestimmen Sie die Menge"

Ich nehme an, es geht dabei um die Lösungsmenge?

Zur Lösung linearer Gleichungssysteme gibt es diverse Verfahren. Frage Herrn Gauß.

Solltest du im Laufe des Verfahrens in die Verlegenheit kommen, durch einen Term zu teilen der 0 werden könnte, dann halte inne und behandle den Fall im Rahmen einer Fallunterscheidung.

Geometrische Interpretation: Dein Gleichungssystem besteht aus drei Ebenengleichungen.

Ein Teilsystem aus 2 dieser 3 Gleichungen beschreibt in der Regel die Schnittgerade zweier Ebenen (es sei denn, die beiden Ebenen sind parallel).

Die Hinzunahme einer dritten Ebenengleichung bestimmt in der Regel den Schnittpunkt aller 3 Ebenen (falls nicht einige der 3 Ebenen zueinander parallel oder identisch sind).

Comments

Wie genau verfahre ich denn aber mit den Werten 0 und 1 ?

Was muss ich mit ihnen machen ?

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Soll ich für a = a(bleibt , da irgendeine reelle Zahl) und b= 0 und 1 (einmal die 0 und beim zweiten versuch die 1) einsetzen und das Lgs lösen ?

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Für b=0 verlaufen alle Ebenen durch den Ursprung, für b=1 nicht.

Und ja, löse erst mal das LGS.

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Das Lgs mit der 1 als erstes und beim zweiten Versuch mit der 0 oder nicht ?

Die geometrische Interpretation ist jetzt, dass wenn b=0 die Ebenen durch den Ursprung verlaufen und bei der 1 ?

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Das hängt von deinen Fähigkeiten ab. Du kannst es auch für beliebige b lösen und erst am Schluss konkrete Werte einsetzen.

Ich denke aber, dass du mit den beiden Fällen auf der sichereren Seite bist.

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Ich hätte ja dann doch einfach nur x y und z  .

Wie verfahre ich danach ?

Bzw. was für einen Unterschied macht es denn bei der Umformung ,ob och 0 oder 1 einsetze ?

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Langsam habe ich das Gefühl, dass du nur deshalb ständig Rückfragen stellst, um den Moment hinauszuzögern, an dem du endlich mit dem Lösen des Gleichungssystems beginnen musst.

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Habe damit schon angefangen.

Bzw. schon fast beendet.

Nur frage ich mich,was ich danach machen soll,nachdem ich irgendetwas mit xyz=b raus habe .

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Das klingt nach Unfug. Zeige deine Rechnung, damit wir den Fehler finden können.

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Da komme ich net weiter

Ich habe es mal mit einem Online Rechner versucht , welcher mir auch alles vollständig liert, weiß aber damit nichts anzufangen.

Ps : Möchte es natürlich selber komplett lösen können

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Das sieht grausam aus mit den Brüchen.

Wir lassen b mal einfach b sein und subtrahieren die Originalgleichung 2 von der Oringinalgleichung 1:

x(a-1) + y(1-a)=0

Wegen (1-a)= -(a-1) folgt daraus

(x-y)(a-1)=0

Für a=1 ist das offensichtlich erfüllt. Übrigens: Für a=1 besteht das Gleichungssystem aus den drei identischen Gleichungen x+y+z=b.

Für a ≠ 1  ist (x-y)(a-1)=0 nur erfüllbar, wenn x=y gilt.

Wenn man analog Gleichung 3 von Gleichung 2 subtrahiert, erhält man entsprechend y=z. Somit muss x=y=z gelten, und wir können sowohl y als auch z durch x ersetzen.

Alle drei Gleichungen lauten dann

a*x+x+x=b bzw. (a+2)*x=b.

Jetzt kannst du das für b=0 bzw. für b=1 verwenden.