Aufgabe:
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a ∈ ℝ die Lösungsmenge der Ungleichung:
$$ x \leq \sqrt{a+2x^2} $$
Problem/Ansatz:
Ich bestimme zunächst den Definitionsbereich der Wurzel also bekomme ich x ≥ ±\( \sqrt{-a/2} \) raus. Damit aber diese generelle Voraussetzung stimmt, muss mein a < 0 in allen Fällen sein oder?
Anschließend überprüfe ich den 1.Fall x ≥ 0 und erhalte als Lösungsmenge x ≥ \( \sqrt{-a} \) raus. Also folgt als Lösungsmenge [\( \sqrt{-a} \) , ∞ ) für den ersten Fall.
Im 2. Fall muss ich dann x < 0 prüfen und erhalten hier x ≤ - \( \sqrt{-a} \) raus. Dann habe ich die nächste Lösungsmenge (-∞, - \( \sqrt{-a/2} \) ] raus, weil ich ja bei beim Definitionsbereich - \( \sqrt{-a/2} \) erhalte.
Also müsste letztendlich meine gesamte Lösungsmenge (-∞, - \( \sqrt{-a/2} \) ] ∪ [\( \sqrt{-a} \) , ∞ ).
Liege ich hier richtig?