Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a ∈ ℝ die Lösungsmenge der Ungleichung:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a ∈ ℝ die Lösungsmenge der Ungleichung:

$$ x \leq \sqrt{a+2x^2} $$

Problem/Ansatz:

Ich bestimme zunächst den Definitionsbereich der Wurzel also bekomme ich x ≥ ±\( \sqrt{-a/2} \) raus. Damit aber diese generelle Voraussetzung stimmt, muss mein a < 0 in allen Fällen sein oder?

Anschließend überprüfe ich den 1.Fall x ≥ 0 und erhalte als Lösungsmenge x ≥ \( \sqrt{-a} \) raus. Also folgt als Lösungsmenge [\( \sqrt{-a} \) , ∞ )  für den ersten Fall.

Im 2. Fall muss ich dann x < 0 prüfen und erhalten hier x ≤ - \( \sqrt{-a} \) raus. Dann habe ich die nächste Lösungsmenge (-∞, - \( \sqrt{-a/2} \) ] raus, weil ich ja bei beim Definitionsbereich  - \( \sqrt{-a/2} \) erhalte.

Also müsste letztendlich meine gesamte Lösungsmenge (-∞, - \( \sqrt{-a/2} \) ] ∪ [\( \sqrt{-a} \) , ∞ ).

Liege ich hier richtig?

Answer 1

hallo

nein für a>0 ist die Wurzel immer definiert.

aber für positive a ist √(a+2x^2) >√2x^2)>x also ist die Ungleichung für a>0 für alle x erfüllt.  für negative a folgt dann deine 2x^2+a>0 und x^2>-a

lul