Das Laplace-Verfahren für max und min abstand

Question

Aufgabe:

fx,y)= 3x^2+2xy+3y-16

das ist eine ellipse

ich soll hier die punkte bestimmen der ellipse die max und min abstand vom koordinatenursprung haben

Problem/Ansatz:

Ich würde es nach laplace machen

ist meine nebenbegiung die gegebene fkt

und die zielfunktion x^2+y^2 ?

Comments

Das ist ein hyperbolisches Paraboloid, nicht aber eine Ellipse (diese würde ja im IR² liegen). Die Zielfunktion ist das Abstandsquadrat.

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Da freut sich Laplace aber.

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also sind die funktionen richtig ausser dass es hyperbolischer paraboloid ist?

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Eine Idee wäre \(d(x,y)=||(x,y,f(x,y))-(0,0,0)||_2^2=9 x^4 + 12 x^3 y + 4 x^2 y^2 + 18 x^2 y - 95 x^2 + 12 x y^2 - 64 x y + 10 y^2 - 96 y + 256\) zu minimieren.

Ich kriege ein Minimum bei (x,y)=(1.79,0.936)

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ich glaube das ist flasch

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warum quadrierst du das?

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Die Wurzelfunktion ist monoton steigend und stetig. Damit ist es egal, ob man die Wurzelfunktion oder eben nur die Radikandenfunktion maximiert/minimiert.

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ich soll hier die punkte bestimmen der ellipse die max und min abstand vom koordinatenursprung haben

Geht es NUR darum? Dann wäre die Verwendung von Lagrange unangemessener overkill.

Sofern es tatsächlich um eine Übungsaufgabe zur Festigung des Lagrange-Verfahren handelt, will ich nichts gesagt haben.

Anderenfalls gibt es mehrere elegantere Zugänge.

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naja man kanns auch mit lagrange lösen :D

Answer 1

Fehlt in der Funktion am einzelnen y eventuell ein Quadrat?. Dann wäre es eine Ellipse.

Laplace oder Lagrange

L(x, y, k) = x^2 + y^2 - k·(3·x^2 + 2·x·y + 3·y^2 - 16)

L'(x, y. k) = [0, 0, 0]

(x = - √2 ∧ y = - √2 ∧ k = 1/4) ∨ (x = √2 ∧ y = √2 ∧ k = 1/4) ∨ (x = -2 ∧ y = 2 ∧ k = 1/2) ∨ (x = 2 ∧ y = -2 ∧ k = 1/2)

Skizze

~plot~ -x/3-sqrt(48-8x^2)/3;-x/3+sqrt(48-8x^2)/3;{sqrt(2)|sqrt(2)};{-sqrt(2)|-sqrt(2)};{-2|2};{2|-2} ~plot~

Comments

nein die fkt ist schon so richtig!

warum sind deine partiellen abtl alle 0??

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achso du hast es mit 3y^2 gerechnet

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entschuldigung du hast recht es ist 3y^2 nicht 3y

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warum sind deine partiellen ableitungen alle 0?

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Wir suchen doch ein Extrama. Da ist es üblich das man die Ableitungen gleich Null setzt oder nicht? Der Abstand soll ja entweder Minimal oder Maximal werden.

Answer 2

Aloha :)

Das ist ein typsiches Problem für eine Optimierung unter einer Nebenbdingung:$$h(x,y)=x^2+y^2\to\text{Extremum}\quad;\quad f(x,y)=3x^2+2xy+3y^2-16=0$$Die beiden Gradienten lauten:$$\operatorname{grad}h=\binom{2x}{2y}\quad;\quad\operatorname{grad} f=\binom{6x+2y}{2x+6y}$$

Für alle Extrema gilt daher:$$0\stackrel{!}{=}\operatorname{det}\begin{pmatrix}2x & 6x+2y\\2y & 2x+6y\end{pmatrix}=2x(2x+6y)-2y(6x+2y)$$$$ \phantom{0}=4x^2+12xy-12xy-4y^2=4(x^2-y^2)\quad\Rightarrow\quad x^2=y^2\quad\Rightarrow\quad y=\pm x$$

Damit finden wir folgende Lösungen:$$y=x\quad\Rightarrow\quad0=f(x,x)=8x^2-16=8(x^2-2)\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt2$$$$y=-x\;\Rightarrow\quad0=f(x,-x)=4x^2-16=4(x^2-4)\;\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Also sind die Extrempunkte:$$E_1(\sqrt2|\sqrt2)\;\;;\;\;E_2(-\sqrt2|-\sqrt2)\;\;;\;\;E_3(2|-2)\;\;;\;\;E_4(-2|2)$$

Comments

warum hast du nicht zielfkt+ NB gerechnet und diese partiell abgeleitet?

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müsste es nicht so sein +-y=+-x

für x^2=y^2

???

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wie kommst du für y=x → 8x^2 -16 ??

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Frage 1:

Wir suchen ja Punkte mit gemeinsamen Tangenten von \(h\) und \(f\). In zwei Dimensionen (x und y) sind das Punkte, bei denen die Gradienten beider Funktionen (bis auf einen Faktor) parallel oder antiparallel zueinander liegen. Daher spannen die beiden Gradienten keine Fläche auf, was bedeutet, dass ihre Determinante gleich Null sein muss.

Du meinst vermutlich die Rechnung über einen Lagrange-Multiplikator \(\lambda\). Das ist genau der Faktor, um den sich die beiden Gradienten unterscheiden. Damit könnte man hier auch rechnen, aber das ist unnötige Tipperei, weil nach dem Faktor \(\lambda\) ja gar nicht gefragt ist.

Frage 2:

Wenn \(y^2=x^2\) git, muss \(y=\pm x\) sein. Das heißt, entweder ist \(y=x\), sodass beide Werte dassselbe Vorzeichen haben, oder es ist \(y=-x\), sodass beide Werte unterschiedliches Vorzeichen haben.

Frage 3:

\(f(x,x)=3x^2+2x\cdot x+3x^2-16=8x^2-16\)

\(f(x,-x)=3x^2+2x\cdot(-x)+3(-x)^2-16=4x^2-16\)

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wie bist du einmal auf 8x^2-16 und 4x^2-16 gekommen?? den zsmhang verstehe ich noch nicht

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vielen dank!!!! jetzt verstehe ichs

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du hast doch die x in die ausgangsfkt eingesetzt? da habe ich was anderen heruas

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Ich habe die Ergebnisse für \(x\) und \(y\) in die Nebenbedingung eingesetzt, also in \(f(x,y)\). Wenn ich die in \(h\) einsetze, habe ich keine Gleichung, die ich auflösen kann.

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kannst du mir zeigen wie du das eingesetzt hast irgendwie habe ich immer noch das falsche heraus

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für x=2 habe ich als fkt wert → 4 heraus

habe für das y -x eingesetzt

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Vorsicht, du darst hier nicht die Funktionswerte mit den Punkten verwechseln. Bei den Extrempunkten sind die \(x\)- und die \(y\)-Koordinate angegeben. \(E_3(2|-2)\) bedeutet, dass du ein Extremum findest, wenn du für \(x=2\) und für \(y=-2\) einsetzt.

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Ah okay danke