Betrachte das Max bzw Min in Abhängigkeit von Lambda

Question

Sei \(\lambda\in\mathbb{R}\) Parameter und definiere die Funktion

\(f_{\lambda}: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) durch

$$f_{\lambda}:= e^x-\lambda x$$

Betrachte das Minimum bzw. Maximum von \(f_{\lambda}(x)\) auf [0,1] in Abhängigkeit von \(\lambda\)

d. h. die Funktionen

$$m(\lambda) := min({f_{\lambda}(x):x \in [0,1]})$$,

$$M(\lambda) := max({f_{\lambda}(x):x \in [0,1]})$$

Bestimme m(\(\lambda\)) und M (\(\lambda\)) explizit und skizziere ihre Graphen.

Answer 1

f_λ(x) = e^x - λx       f '_λ(x) = e^x - λ    also   

f '_λ(x) =0 ⇔   e^x - λ   = 0

⇔   e^x = λ    #

Nun brauchst du ein paar Fallunterscheidungen:

1. Fall   λ≤0   dann hat # keine Lösung.  Die Ableitung

f '_λ(x) = e^x - λ  ist auf   [0;1] immer positiv und also f streng monoton

steigend über [0;1] und damit   m(  λ ) = f_λ(0) = 1 und

M (  λ ) = f_λ(1) = e - λ 

2. Fall  0<  λ  < e .  Dann hat # die Lösung x = ln( λ)

und die liegt im Intervall ]0;1[.

f ' '_λ(x) = e^x   also   f ' '_λ( ln( λ) ) = e ln( λ)= λ > 0 also Minimum

bei x = ln( λ) mit  m(  λ ) = f_λ( ln( λ)) =  λ -  λ*ln( λ) .

Und das Max liegt an einem der Intervallränder.

Das sind die Werte f_λ(0) = 1   und   f_λ(1) = e -  λ

und der größere von den beiden ist 1 für λ>e-1 

und es ist  e -  λ für  λ<e-1  

und bei λ=e-1   ist beides gleich 1.

3. Fall λ  ≥ e  Dann hat f ' _λ im Inneren des Intervalls keine

Nullstellen, also f keine Extrema. Und f ist dann monoton

fallend, also max am linken und min am rechten Rand des

Intervalls und damit   M(  λ ) = f_λ(0) = 1 und m (  λ ) = f_λ(1) = e - λ .

Also insgesamt:

m(  λ)  = 1                  für   λ≤0 

=   λ -  λ*ln( λ)  für 0<  λ  < e

=   e - λ             für   λ  ≥ e

und

M(  λ)  =  e - λ              für   λ≤0 

=   e -  λ           für  0<λ<e-1  

=   1                für   e-1  ≤  λ < e

=   1                  für   λ  ≥ e        also kurz

M(  λ)  =   e -  λ           für λ<e-1  

=   1                  für   λ  ≥ e  - 1