Behauptung:
Die Behauptung
A \ ( B \ C) = ( A \ B ) ∪ C
ist im allgemeinen falsch. Sie gilt nur, wenn C ⊆ A.
Beweis:
Es gilt allgemein: X \ Y = X ∩ ¬ Y
Daher:
A \ ( B \ C) = A ∩ ¬ ( B \ C ) = A ∩ ¬ ( B ∩ ¬ C ) = A ∩ ( ¬ B ∪ C )
= ( A ∩ ¬ B ) ∪ ( A ∩ C )
aber:
( A \ B ) ∪ C
= ( A ∩ ¬ B ) ∪ C
Daraus folgt:
( A \ ( B \ C) = ( A \ B ) ∪ C )
<=> ( A ∩ ¬ B ) ∪ ( A ∩ C ) = ( A ∩ ¬ B ) ∪ C
<=> ( A ∩ C ) = C
<=> C ⊆ A
Die beiden Ausdrücke sind also im allgemeinen verschieden. Gleich sind sie dann und nur dann, wenn C eine Teilmenge von A ist.