Gleichungssystem mit Gauß Algorithmus lösen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie c so, dass das Gleichungssystem eine Lösung besitzt und berechnen Sie diese:

$$ \left( \begin{array} { c c c c | c } { 0 } & { 4 } & { 10 } & { 18 } & { 7 c - 1 } \\ { 2 } & { 8 } & { 12 } & { 11 } & { 5 c - 1 } \\ { 1 } & { 3 } & { 4 } & { 2 } & { c } \\ { 3 } & { 15 } & { 22 } & { 23 } & { 12 c - 2 } \end{array} \right) $$

Ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, da ich keinen Ansatz habe, wie ich daran gehen soll. Ich habe es bereits selber probiert umzuformen und hänge fest mit c=−2 und weiss nicht welche Kriterien überhaupt erfüllt sein müssen für einen freien Parameter. Mein Rechenweg war es, die erste Zeile mit der letzten zu tauschen und zu rechnen bis eine Zeilenstufenform entsteht, was mir aber aufgrund der Variablen c nicht gelungen ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Gauß verfahren richtig gelöst?

Stichworte: gauß,lineare-gleichungssysteme,verfahren,inverse-matrix,matrix

Ich habe folgende aufgabe mithilfe des Forums so gelöst habe ich einen fehler gemacht?

Blatt 2:

Aufgabe: Blatt1:

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Hallo
auch wir müssten das alles nachrechnen, in derselben Zeit hast du dein Ergebnis in die Anfangsmatrix eingesetzt und damit überprüft.
Gruß lul

Answer 1

[0, 4, 10, 18, 7·c - 1]
[2, 8, 12, 11, 5·c - 1]
[1, 3, 4, 2, c]
[3, 15, 22, 23, 12·c - 2]

I ; II - 2*III ; IV - 3*III

[0, 4, 10, 18, 7·c - 1]
[0, 2, 4, 7, 3·c - 1]
[0, 6, 10, 17, 9·c - 2]

I - 2*II ; III - 3*II

[0, 0, 2, 4, c + 1]
[0, 0, -2, -4, 1]

II + I

[0, 0, 0, 0, c + 2]

Man sieht das es nur für c = -2 Lösungen gibt. Daher kann man jetzt c = -2 einsetzen. Dann hat man einen Freiheitsgrad. Z.b. d und löst a, b und c in Abhängigkeit von d auf.

Kontrollösung

[7.5, -2.5, 0.5, 0] + t * [4.5, 0.5, -2, 1]

Answer 2

Hallo karyx,

ich habe Z1 und Z3 vertauscht:

⎡ 1    3    4    2          c    ⎤
⎢ 2    8  12  11     5·c - 1 ⎥  
⎢ 0    4  10  18     7·c - 1 ⎥
⎣ 3  15  22  23   12·c - 2 ⎦

⎡ 1  3    4    2          c    ⎤
⎢ 0  2    4    7     3·c - 1 ⎥   Z2 - 2 * Z1
⎢ 0  4  10  18     7·c - 1 ⎥   
⎣ 0  6  10  17     9·c - 2 ⎦   Z4 - 3 * Z1

⎡ 1  3  4  2        c    ⎤
⎢ 0  2  4  7   3·c - 1 ⎥  
⎢ 0  0  2  4    c + 1  ⎥  Z3 - 2 * Z2
⎣ 0  0  -2  -4     1    ⎦   Z4 - 3 * Z2  

⎡ 1  3  4  2        c    ⎤
⎢ 0  2  4  7   3·c - 1 ⎥
⎢ 0  0  2  4    c + 1  ⎥
⎣ 0  0  0  0    c + 2  ⎦  Z4 + Z3

Für  c+2 = 0   →   c = -2    hat das LGS  unendlich viele Lösungen

 für  c ≠ -2   keine Lösung

Setzt man c = -2 ein:

⎡ 1  3  4  2  -2 ⎤
 0  2  4  7   -7  ⎢   
⎢ 0  0  2  4  -1 ⎥
⎣ 0  0  0  0   0 ⎦

Hast man ein LGS ohne Parameter

Nachtrag:

Allgemeine Lösung:

bei  [x,y,z,w] ist die Variable w ist wegen der Nullzeile frei wählbar. Man setzt w in Z3 ein und dann z in Z2 und y in Z1 und erhält alle Variablen in Abhängigkeit von w.

[x,y,z,w]  = [15/2 + 9/2 w , 1/2 w - 5/2 , -2w - 1/2 , w]   mit w∈ℝ

Gruß Wolfgang

Answer 3

Der liebe Wolfgang hat dir doch eine Vergleichslösung geliefert

https://www.mathelounge.de/586065/gleichungssystem-mit-gauss-algorithmus-losen

Und ich kann die Lösung von Wolfgang bestätigen.