Gemeinsamer Teiler von a^2 + b^2 ≡ 0 mod.3

Question

Aufgabe:

 Seien a, b ∈ N. Es gelte a^2 + b^2 ≡ 0 mod.3.

Zeigen Sie, dass 3 ein Teiler von a und b ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe allgemein leider nicht, wie ich dies beweise soll.

0 mod.3 ist doch 0 oder?

Bitte zeigt mir einen Rechenweg oder gebt mir einen Denkanstoß ^^

Comments

0 mod.3 ist doch 0 oder?

Du hast das Zeichen ≡ unterschlagen.

x≡0 mod 3 bedeuted, dass x durch 3 teilbar ist.

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Stimmt ! danke

Weißt du eine Lösung für die Aufgabe ?

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Nimm an, a oder b sei nicht durch 3 teilbar. Dann ist a² nicht durch 3 teilbar oder b² nicht durch 3 teilbar. Dann ist auch a²+b² nicht durch 3 teilbar, was im Widerspuch zur Voraussetzung steht. Damit ist ein indirekter Beweis für die Gültigkei der Aussage: "a² + b² ≡ 0 mod.3 ⇒ 3 ist ein Teiler von a und b" geführt.

Answer 1

Hallo

a) a und b sind durch 3 tb, dann auch a^2 und b^2 und damit a^2+b^2

b) a nicht durch 3 tb. also lässt es bei Division den Rest 1 oder 2, dann a^2 nur den Rest 1, dasselbe für b^2 also welchen Rest lässt a^2+b^2 wenn a oder b oder beide nicht durch 3tb.

So aufgaben rechnet man immer mit Resten oder mod statt Rest

 also a nicht 0 mo3 dann a=1 oder a=2 mod 3 dann a^2...

Gruß lul

Answer 2

0 mod.3 ist doch 0 oder?

Ja. Aber auf der rechten Seite von

(1)        a² + b² ≡ 0 mod.3

steht nicht 0 mod.3, sondern 0. Das "mod 3" gibt an, dass der Rest bei ganzzahliger Division durch 3 betrachtet wird. Und zwar auf beiden Seiten des Kongruenzzeichens "≡". In Worten sagt (1) aus:

        Der Rest bei ganzzahliger Division von a² + b² durch 3
                ist gleich
        dem Rest bei ganzzahliger Division von 0 durch 3.

Der Rest bei ganzzahliger Division von 0 durch 3 ist 0.

Der Rest bei ganzzahliger Division einer Zahl durch 3 ist genau dann 0, wenn die Zahl durch drei teilbar ist. (1) sagt also aus, dass a² + b² durch 3 teilbar ist.

Du sollst also zeigen:

        Wenn a² + b² durch 3 teilbar ist, dann ist sowohl a als auch b durch 3 teilbar.

Am geeignetsten erscheint mir dazu ein Beweis der Kontraposition:

        Wenn (o.B.d.A.) a nicht durch drei teilbar ist, dann ist a² + b² auch nicht durch drei teilbar.

Dazu genügt es zu zeigen, dass a² mod 3 = 1 ist, falls a mod 3 ≠ 0 ist.