Verständnisfrage Polynomdivision Polynomring

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils den größten gemeinsamen Teiler der folgenden Polynome im jeweiligen Polynomring.

f(x) = 3x^3+x^2+x+2 und g(x) = 2x-1 in |F_5. 

Problem/Ansatz:

Den größten gemeinsamen Teiler bestimme ich ja mittels Polynomdivision. Da ich hier aber ja |F5 betrachte wäre meine Frage, wie ich damit umgehe. Forme ich g(x) so um, dass es 2x+1 ist und nehme das ist Dividend? 

Wie schreibe ich hinterher Formal korrekt die Lösungen auf? 

Vielen Dank vorab!

…

Answer 1

Ich denke, du machst einfach Polynomdivision und achtest darauf,

dass die Koeffizienten in F5 sind. Etwa so

    (3x^3   +x^2     +x     +2) : (2x-1) = 4x^2  + 3    Rest 1 
-(3x^3      -4x^2)
---------------------
                0x^2  +  x     +  2 
                            (x      + 1)
                          ----------------
                                        1

Also ist 1 der erste Rest.    Weiter mit 

(  4x^2  + 3 )  :  1   =  4x^2 + 3    Rest 0

Also ist 1 der ggT.

Comments

Vielen Dank für deine Rückmeldung! 

Kannst du mir vielleicht noch hierbei helfen? 

f(x) = 3x^3+x^2+x+2, g(x) = 2x-1 in Q[x]

3x^3+x^2+x+2 : 2x-1 = 3/2x^2+5/4x+7/8
-(3x^3-3/2x^2)
-------------------
                 5/2x^2+x+2
              -(5/2x^2-5/4x)
              ----------------------
                    9/4x+2
                 -(9/4x-7/8)
              -------------------
                           23/8

Nun wurde mir gesagt, dass f(x) durch g(x9 nicht ohne Rest teilbar ist, somit ist der ggT nicht linear sondern Konstant = 1. 

Doch woher weiß ich das? 

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vielleicht sollte es heißen:

Der Rest ist ein konstantes Polynom

ungleich 0, also eine EINHEIT.

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Wie meinst du das? Und ist das was ich gerechnet habe richtig oder ist schon der Ansatz falsch?

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Bei der letzten Zahl habe ich 9/8:

3x3+x2+x+2 : 2x-1 = 3/2x2+5/4x+9/8
-(3x3-3/2x2)
-------------------
                 5/2x2+x+2
              -(5/2x2-5/4x)
              ----------------------
                    9/4x+2
                 -(9/4x-9/8)
              -------------------
                           25/8