Ableitung nach Zeit: x = cos(1/4 t)

Question

Ich habe so meine Probleme was das Ableiten nach Zeit bedeutet...das ist ja z.B. von x nach x(Punkt)

Passt das Beispiel?

$$ \begin{array} { l } { x = \cos \left( \frac { 1 } { 4 } t \right) } \\ { \dot { x } = - \frac { 1 } { 4 } \sin \left( \frac { 1 } { 4 } t \right) } \end{array} $$

Ich habe auch den Fall gehabt, dass man das als eine art innere Ableitung sieht und noch einen Punkt darüber macht. Was passt? Und wie kann ich mir das vorstellen, gibt es da eine Regel?

$$\begin{array} { l } { x = \cos ( \varphi ) } \\ { \dot { x } = - \dot { \varphi } \sin ( \varphi ) } \end{array}$$

Answer 1

Hallo Alonso,

$$x = \cos\left( \frac14 t\right) \\ \frac{\partial x}{\partial t} = \dot x = -\frac14 \sin\left( \frac14 t\right)$$

Passt das Beispiel...?

Ja - das ist richtig.

ich habe nämlich auch den Fall gehabt...

$$x = \cos \left( \varphi \right) \\ \dot x = -\dot \varphi \sin \left( \varphi \right) $$

Und wie kann ich mir das Vorstellen, gibt es da eine Regel?

Ja - wir sind in der Mathematik. Da gibt es immer Regeln ;-)

Es ist exakt der gleiche Fall wie oben. Setze einfach \(\varphi = \frac14 t\). Leite dies nach der Zeit - also nach \(t\) ab: \(\dot \varphi = \frac14\). Und nun setze \(\varphi\) und \(\dot \varphi\) in die Ableitung ein - was erhältst Du dann?

Die Regel ist die Kettenregel.

Gruß Werner

Answer 2

was das Ableiten nach Zeit bedeutet

Die Variable, nach der abgeleitet wird, steht für die Zeit.

Es gibt keine neuen Regeln, wie Abeitung berechnet wird. Es ist immer noch die gleiche Ableitung, die du aus der Schule kennst.

Es gibt eine neue Notation: die Ableitung wird durch einen Punkt über dem Funktionsnamen gekennzeichnet, anstatt durch ein Apostroph hinter dem Funktionsnamen.

        \(x = \cos\left(\frac{1}{4}t\right) \implies \dot{x} = -\frac{1}{4}\sin\left(\frac{1}{4}t\right) \)

ist eine einfache Anwendung der Kettenregel. Das ist da gleiche wie

        \(x(t) = \cos\left(\frac{1}{4}t\right) \implies x'(t) = -\frac{1}{4}\sin\left(\frac{1}{4}t\right) \),

nur eben mit einer anderen Notation. Ebenso ist

        \(x = \cos\left(\varphi\right) \implies \dot{x} = -\dot{\varphi}\sin\left(\varphi\right) \).

eine andere Schreibweise für

        \(x(t) = \cos\left(\varphi(t)\right) \implies x'(t) = -\varphi'(t)\sin\left(\varphi(t)\right) \).