Zeige , dass U ein Unterraum des K-Vektorraums ist.

Question

Ich muss mehrere Aufgaben lösen, jedoch brauche ich eine Vorgehensweise. Kann deshalb bitte jemand folgende Aufgabe Schritt für schritt lösen und dabei erklären was er macht, damit ich dieses Wissen auf die anderen Aufgaben transferieren kann und lösen kann.

$$\text{Entscheiden Sie für die Körper } K= \mathbb{C} \text{ bzw. } K= \mathbb{R} \\\text{ jeweils, ob die Teilmenge U ein Untervektorraum des K-Vektorraums } V = \mathbb{C}^2 \text{ ist (Beweis oder Gegenbeispiel).} \\[10pt]\text{ (iii) } U:= \{(x_1, x_2)\in \mathbb{C}; ix_1+\frac{x_2}{1+i}=0\}$$

Answer 1

\(\begin{aligned} U& = \left\{(x_1, x_2)\in \mathbb{C}^2; ix_1+\frac{x_2}{1+i}=0, x_1\in\mathbb{C},x_2\in\mathbb{C}\right\}\\ &= \left\{(x_1, x_2)\in \mathbb{C}^2; x_2 = (1-i)x_1, x_1\in\mathbb{C},x_2\in\mathbb{C}\right\}\\ &= \left\{(x_1, (1-i)x_1)\in \mathbb{C}^2; x_1\in\mathbb{C}\right\}\\ &= \left\{x_1\cdot(1, 1-i)\in \mathbb{C}^2; x_1\in\mathbb{C}\right\} \end{aligned}\)

\(U\) ist also die Menge aller Linearkombinationen, die sich aus der Menge \(B_\mathbb{C} := \{(1, 1-i)\}\) erstellen lassen.

Also ist \(U\) ein ℂ-Untervektorraum mit Erzeugendensystem \(B_\mathbb{C}\). Weil \(B_\mathbb{C}\) linear unabhängig ist, ist \(B_\mathbb{C}\) auch eine Basis von \(U\).

Mittels https://www.mathelounge.de/587071/was-besagt-das-uber-die-beziehung-zwischen-dimc-v-und-dimr-v ist \(B_\mathbb{R} := \{(1, 1-i), i\cdot(1, 1-i)\}\) eine Basis des entsprechenden ℝ-Untervektorraumes.

Comments

Wenn ich es also richtig verstanden habe.

1) Nach x_2 umformen

2) X_2 durch die umformung ersetzen

3) aus dem vektor x_1 rausziehen

4) B_C ist also mein Vektor und U ist die Menge alle Kombinationen die ich mit diesen Vektor erstellen kann

5) Daraus folgt dass U ein C- Unteraum ist mit Erzeugensystem B_C

6) B_C linear unabhängig also B_C Basis von U

Für K=R :

Nehme ich mein Vektor aus 3) schreibe ihn 2 mal auf, wobei ich den zweiten mit der imaginären Komponente multipliziere?

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Ist die also die Standardbeweisführung für solche Aufgaben?

Übrigens: Vielen Dank für die schnelle Antwort!