Quadrat und Kreis im Quadrat

Question

Aufgabe:7. Einem Quadrat Q_a der Seitenlänge a werden ein Quadrat Q_2r der Seitenlänge 2r und ein Kreis K mit dem Radius r so einbeschrieben, dass zwei Seiten von Q_2r auf den Seiten von Q_a liegen und die anderen beiden Seiten von Q_a Tangenten von K sind. Ein Eckpunkt von Q_2r liegt auf K (siehe Abbildung). Drücke r in Abhängigkeit von a aus.

Answer 1

Die Diagonale des großen Quadrats hat die Diagonalenlänge a·√2, die sich (von links unten nach rechts oben) aus folgenden Teilstrecken zusammensetzt:

2r·√2 + r + r·√2

Somit gilt

a·√2= 2r·√2 + r + r·√2

a·√2= r(2·√2 + 1 + √2)

a·√2= r(3·√2 + 1)

r= a·√2 / (3·√2 + 1)

Mit rationalem Nenner:

$$r=\frac{6-\sqrt2}{17}a$$