Ermittle für die Funktion f(x)=3x-1/2x² die Ableitungsfunktion. (Mit Differenzquotienten)

Question

folgende Aufgabe habe ich vor mir: Ermittle für die Funktion f mit f(x)=3x-1/2x² (mit hilfe des Differenzenquotienten an einer Stelle X0) die Ableitungsfunktion f'.


Meine Rechnung:

X0=3


Differenzquotient anwenden:


f(3+h)-f(3) / (3+h)-3

= 3(3+h)-1/2(3+h)²-9/2 / h

= 9+3h-1 /2*3²+2*3*h+h²-9/2 / h

= 9h+h² / h


Ableitungsfunktion f'(x)=9x+x²


Ist das so richtig?

Answer 1

Hi Afrob, 

 

die Funktion 

f(x) = 3x - 1/2 * x²

hat nach der Summenformel die Ableitung

f'(x) = -x + 3

(Ableitung von 3x + Ableitung von -1/2 * x²)

In Deinem Beispiel x₀ = 3:

f'(3) = -3 + 3 = 0

 

Rechnen wir es mit Deinem Beispiel x₀ = 3 aus:

[f(3 + h) - f(3)] / ([(3 + h) - 3] =

[3 * (3 + h) - 1/2 * (3 + h)² - 3 * 3 + 1/2 * 3²] / h =

[9 + 3h - 1/2 * (9 + 6h + h²) - 9 + 9/2] / h =

(9 + 3h - 9/2 - 3h - h²/2 - 9 + 9/2) / h =

(-h²/2) / h =

-h/2

Und dieser Term geht gegen 0 für h gegen 0. 

 

Besten Gruß

Comments

Allgemeingültiger ist es natürlich, wenn man statt einer Zahl das x₀ stehen lässt; ich schreib jetzt aber für x₀ einfach x, um mir Tipparbeit zu sparen :-)

 

[f(x + h) - f(x)] / [(x + h) - x] = 

[3 * (x + h) - 1/2 * (x + h)² - 3 * x + 1/2 * x²] / h =

[3x + 3h - 1/2 * (x² + 2xh + h²) - 3x + 1/2 * x²] / h =

(3x + 3h - 1/2 * x² - xh - 1/2 * h² - 3x + 1/2 * x²) / h =

(3h - xh - 1/2 * h²) / h =

3 - x - 1/2 * h

Und dieser Ausdruck geht für h gegen 0

gegen 

3 - x

Dies habe ich ja schon in meiner Antwort oben als Ableitung von f(x) angegeben. 

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Ich verstehe die geometrische Bedeutung nicht ganz. In der Aufgabenstellung steht, man soll die Ableitungsfunktion durch den Differenzenquotienten ermitteln. Was bedeutet nun -h/2? Wie komme ich von dort zur Ableitungsfunktion?

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Das Prinzip dieses Vorgehens ist folgendes: 

Man arbeitet mit einem Steigungsdreieck, hier mal ein ganz einfaches Beispiel: 

Die Steigung zwischen zwei Punkten kann abgelesen werden am Quotienten aus 

"y-Veränderung" / "x-Veränderung"

Das ist eben gerade f(x + h) - f(x)

geteilt durch

(x + h) - x

Wenn wir keine lineare Funktion haben wie in der Zeichnung, sondern z.B. f(x) = x³, bilden wir ebenfalls ein solches Steigungsdreieck, was aber relativ ungenau ist, wenn es groß ist. Wir machen also das Steigungsdreieck beliebig klein, was durch immer kleiner werdendes h ausgedrückt wird. 

h geht also gegen 0. 

Und wenn man dann ein unendlich kleines Steigungsdreieck hat, hat man auch die Steigung (1. Ableitung) im gesuchten Punkt. 

In der obigen Rechnung kam als Ergebnis 

-h/2 

heraus. 

Wenn h nun unendlich klein wird - wir wollen ja ein unendlich kleines Steigungsdreieck haben - dann kann man doch "fast sagen": -h/2 = -0/2

Und das ist natürlich = 0

 

Etwas klarer geworden?

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Ja, ich danke dir vielmas für die Mühe.


Es bleibt bei mir noch die Frage, für was ich den Differenzenquotienten nun brauche, da ich die Steigung der Funktion ja durch einfaches Ableiten herausfinden kann. Und dass wir ein möglichst kleines Steigungsdreieck, also h, brauchen - wieso muss das so rechnerisch/kompliziert dargestellt werden, wenn man sowieso davon ausgeht, dass man ein möglichst kleines h braucht?


Gruß und danke für die Geduld :)

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Gern geschehen :-)


Das h muss möglichst klein werden, man muss aber dann die ganze Rechenprozedur durchführen, um auf einen Wert wie z.B. -h/2 zu kommen, um ein Ergebnis zu erhalten; einfacher geht das wohl nicht :-(


Sicherlich kannst Du durch einfaches Ableiten die Steigung der Funktion herausfinden. Aber irgendwann müssen ja kluge Köpfe auf diese Ableitungsregeln gekommen sein, wahrscheinlich mit Hilfe des Differenzenquotienten :-)

SchülerInnen oder StudentInnen sollten aber auch die Grundlagen kennen, deshalb wird ein solches Vorgehen wohl auch gefordert.
Als ich vor langer Zeit einige Semester Informatik studiert habe, mussten wir auch lernen, wie kleine Magnetringe innerhalb eines Computers funktionieren, obwohl es zu dem Zeitpunkt m.W. auch schon Halbleiter gab und die Ringe daher schon nicht mehr up-to-date waren.
Besten Gruß

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Okay, aber mit dem Ergebnis (-h/2) rechne ich nicht weiter, oder? Die Steigung der Funktion beträgt ja 3-x, also habe ich durch den Differenzenquotienten nur das errechnet, wovon ich sowieso ausgehe, okay.


Ja, das ist halt sowieso die Frage, ob man totes Wissen braucht. Ich glaube eher nicht, ich könnte in der Zeit, in der ich sowas lerne, gefühlt 1000 andere Dinge machen, die nützlicher wären. :D

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Richtig, die Steigung im Punkt x₀ = 3 beträgt -h/2 = 0.

Also rechnest Du dann nicht mehr weiter. 

 

Ich weiß nicht, ob solche Rechenmethoden wirklich "totes Wissen" sind; sie schulen halt den Geist :-)

 

Um ein anderes Beispiel zu nennen: Natürlich kannst Du in wenigen Sekunden 3 : 7 mit dem Taschenrechner ausrechnen, ist es aber nicht irgendwie schön zu wissen, dass man es auch selbst mit Papier und Bleistift hinkriegen würde?

 

Besten Gruß

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Okay, alles klar.

Bei 3:7 finde ich es aber irgendwie "schöner", durch logisches Denken zu wissen, dass etwas unter 0,5 herauskommen muss. Wie die Zahl dann genau aussieht, muss ich nicht zwangsläufig/sofort wissen. Und für mich hat so etwas auch einen Bezug zur Realität, während der Differenzenquotient wahrscheinlich für immer in der Schule bleibt. :)

 

Ich habe noch eine Anschlussaufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, ob ich sie richtig gerechnet habe.

 

Welche Steigung hat die Tangente an das Schaubild von f für x0=0,5?

Ich hab die Ableitung und die Funktion mal gezeichnet. Die Ableitung ist doch keine Tangente oder?

 

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Hi again,
stimmt, die Ableitung ist keine Tangente.
Aber Du kannst hier zum Beispiel sehr schön ablesen, dass g(3) = 0 ist, dass also f(x) an der Stelle 3 einen Anstieg von 0 hat; an der Stelle 3 hat f(x) nämlich ein Maximum, und dort wäre die Tangente an den Punkt (3|f(3)) waagrecht.
Um also zu sehen, welche Steigung die Tangente an f(x) an der Stelle 0,5 hat,
liest Du einfach den y-Wert g(0,5) ab; der sollte 3 - 0,5 = 2,5 betragen.

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Hallo :=)

Ich hab das Ganze jetzt mit dem Differenzenquotienten gerechnet und -h erhalten - ist das falsch? Ich meine, wenn ich das eben mit diesem Verfahren berechne und die 0,5 einsetze. Die Steigung ist ja offensichtlich negativ somit müsste das doch richtig sein, oder?

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Noch eine Frage: Wieso steht dann in der Aufgabe "Tangente"? Könnte das ein Irrtum sein oder kann eine Tangente eine Parabel auch komplett "durchschneiden"?

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Was hast Du jetzt mit dem Differenzenquotienten berechnet? Den Anstieg an der Stelle 0,5?

Wenn ja, hast Du einen Fehler gemacht, denn der Anstieg von f(x) an der Stelle 0,5 ist 2,5, also positiv.
Du darfst Dich nicht verleiten lassen, aus der Form der Ableitung auf den Anstieg zu schließen, Du kannst den Anstieg nur am y-Wert der Ableitung ablesen:

g(x) ist zwar absteigend, hat aber für alle x < 3 einen positiven y-Wert, und das ist es, worauf es ankommt.
An der Stelle x = 3 hat g(x) den Wert 0, deshalb hat f(x) dort keinen Anstieg (dort hat f(x) ein Maximum).
Für x > 3 hat g(x) Werte < 0, also hat für x > 3 f(x) eine negative Steigung.
Nochmals:
Nicht die Form der Ableitung ist entscheidend, sondern die Werte sind es, die die Ableitung an den verschiedenen Stellen annimmt:

g(x) < 0 => f(x) fällt

g(x) = 0 => f(x) hat einen Anstieg von 0, fällt nicht, steigt nicht

g(x) > 0 => f(x) steigt

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Zur "Tangente": 

Hier hilft wieder altes totes Wissen :-)

1. Tangente heißt, dass die Gerade die Funktion berührt und zwar mit dem gleichen Anstieg, wie die Funktion hat (lat.: tangere = berühren). 

2. Wenn eine Gerade eine andere Funktion schneidet, dann ist es keine Tangente, sondern eine sogenannte Sekante (lat.: secare = schneiden - glaube ich! - Der gleiche Ursprung wie beim "Sezieren" oder "Sektor"). 

3. Dann gibt es noch Geraden, die eine andere Funktion nicht einmal an einer Stelle berühren oder schneiden, sondern an ihnen "vorbeigehen": Passanten - so wie ein menschlicher Passant an Dir vorbeigeht. 

Das von Dir eingezeichnete g(x) ist also eine Sekante von f(x), weil es f(x) an zwei Stellen schneidet. 

Ich habe Dir nochmal ein kleines Bildchen gemacht: 

Die rote Kurve ist f(x), die grüne Gerade ist ihr Anstieg bzw. ihre 1. Ableitung g(x); da sie f(x) an zwei Stellen schneidet, ist sie gleichzeitig eine Sekante von f(x).  

Die violette Gerade ist die Tangente an f(x) an der Stelle x = 3

Die blaue Gerade ist eine Passante von f(x).

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Dass eine Tangente eine Funktion an genau einer Stelle berührt ist so i.A. nicht ganz richtig. Betrachte z.B. die Funktion  f(x) = sin(x)  und die Tangente  t(x) = 1. t  berührt  f  an unendlich vielen Stellen.

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Damit hast Du Recht, danke für den Hinweis!

Ich denke halt leider immer noch im Endlichen und nicht im Unendlichen, aber ich arbeite daran :-)

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Ich habe die Aufgabe gerade noch einmal durchgerechnet und das erhalten, was du auch hattest. Das freut mich. Danke dafür :)


Ansonsten wollte ich eigentlich wissen, ob die Aufgabenstellung dann falsch war, weil sie ja von einer "Tangente" gesprochen hat. Obwohl der Graph der ersten Ableitung ja die Funktion nicht "tangiert", sondern an zwei Punkten schneidet. Deswegen ist sie eine Sekante und keine Tangente. Oder irre ich mich jetzt?


Naja, das wars erstmal von mir, ich danke dir nochmal vielmals für die Mühe, du hast mich in jedem Fall ein ganzes Stück weiter gebracht :)

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Das freut mich auch - schön, wenn ich Dir helfen konnte!

 

Die Aufgabenstellung war nicht falsch:

Die Ableitungsfunktion f'(x) schneidet die Funktion f(x) an zwei Punkten und ist damit eine Sekante, das stimmt schon. 

Aber: 

Die Ableitungsfunktion f'(x) ist nicht die gesuchte Tangente, sondern gibt lediglich deren Anstieg an!

Wenn Du auf mein Bild oben schaust, ist die Ableitungsfunktion f'(x) die grüne Gerade. Die Tangente an den Punkt (3|f(3)) ist dagegen die violette Gerade oben. Sie hat den Anstieg 0, deshalb hat f'(x) an der Stelle x = 3 ebenfalls den Wert 0.

Wenn Du Dir die Tangente an f(x) für x = 0,5 vorstellen willst, dann denke Dir, dass diese violette Gerade sozusagen nach links herunterrutscht.

 

Ob die Ableitungsfunktion f'(x) eine Tangente, Sekante oder Passante ist (falls das überhaupt möglich ist), ist völlig uninteressant: Wichtig sind bei f'(x) die y-Werte, weil diese den Anstieg von f(x) an den jeweiligen Stellen und damit auch den Anstieg der Tangenten an den jeweiligen Stellen angeben.  

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Ich habe Dir nochmal ein kleines Bild dazu gemacht: 

 

Die blaue Kurve ist die Funktion f(x) = x²

Die rote Kurve ist deren Ableitung f'(x) = 2x

Die beiden Geraden in grün und violett sind Tangenten. 

Die grüne Tangente an f(x) im Punkt (1/2|1/4) hat dort die Steigung 1, was Du an f'(1/2) ablesen kannst.

Die violette Tangente an f(x) im Punkt (1|1) hat dort die Steigung 2, was Du an f'(1) ablesen könntest, wenn der Ausschnitt etwas größer wäre :-)

 

Ich hoffe, es wird dadurch ein wenig klarer.

 

Besten Gruß 

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ahhhhh, das ist genau das, was mich auf dem schlauch hat stehen lassen. danke :)

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Immer wieder gern -
wenn es hilft, vom Schlauch zu kommen :-D