Funktionsbestimmung. Zwei Polynome 3. Grades

Question

ich komme bei zwei Aufgaben nicht weiter. Bei beiden geht es um das Aufstellen von Funktionen 3. Grades.

Ansatz:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f´(x)=3ax^2+2bx+c

f´´(x)=6ax+2b

 

1.) A(2;3) ist Punkt des Graphen, bei x=1 liegt ein Extrema vor und der Graph hat bei x=1,5 eine Wendestelle.

Soweit bin ich schonmal gekommen:

1. Punkt A(2;3): f(2) = 3 => 6a+4b+2c+d

2. Extrema bei x=1= f´(1)=0 => 3a*0+2b*0+c => c=0

3. Wendestelle x=1,5: f´´(1,5)=0 =>  9a+2b

Da komme ich nicht auf die 4. Gleichung

 

2.) Der Graph verläuft durch P(0;-5) und Q(1;0) und berührt die x - Achse im Punkt R(5;0)

Hier wieder meine Rechnung:

1. Punkt P(0;-5): f(0)= - 5 => d= - 5

2. Punkt Q(1;0): f(1)=0 => a+b+c - 5=0

3. Nullstelle R(5;0): f(5)=0=> 15a+10b+5c - 5

Auch hier weiß ich nicht wie ich auf die 4. Gleichung komme.

 

Danke für die Hilfe =)

Answer 1

Erst mal zu 2.

2.) Der Graph verläuft durch P(0;-5) und Q(1;0) und berührt die x - Achse im Punkt R(5;0)

Hier wieder meine Rechnung:

1. Punkt P(0;-5): f(0)= - 5 => d= - 5

2. Punkt Q(1;0): f(1)=0 => a+b+c - 5=0

3. Nullstelle R(5;0): f(5)=0=> 5^3 a+5^2 b+5c - 5 = 0.

125 a + 25 b + 5c - 5 = 0

Auch hier weiß ich nicht wie ich auf die 4. Gleichung komme.

4. Berühren heisst auch : Horizontale Tangente. Also f ' (5) = 0

f´(x)=3ax^2+2bx+c 

f ' (5) = 75 a + 10 b + c = 0

Hier kommst du bestimmt selbst weiter.

 

 

 

Comments

1.) A(2;3) ist Punkt des Graphen, bei x=1 liegt ein Extrema vor und der Graph hat bei x=1,5 eine Wendestelle.

Pass auf beim Einsetzen ^3 ist nicht dasselbe wie *3

1. Punkt A(2;3): f(2) = 3 => 8a+4b+2c+d = 3

2. Extrema bei x=1=> f´(1)=0 => 3a*1+2b*1+c =0 
3. Wendestelle x=1,5: f´´(1,5)=0 =>  9a+2b = 0

Zur 4. Gleichung.

Steht da wirklich ein Extrema?        Extrema ist Mehrzahl. Einzahl ist Extremum. 

Aus Symmetriegründen sind die beiden Extremalstellen eines Polynoms 3. Grades gleich weit von der Wendestelle entfernt. Deshalb befindet sich die 2. Extremalstelle bei x=2. Also gilt auch f ' (2) = 0

Ob das allerdings die fehlende 4. Gleichung ist, musst du mit Rechnung ausprobieren. Die Symmetrie ist eigentlch schon dank dem Ansatz als Polynom 3. Grades gegeben.

Answer 2

1.) A(2;3) ist Punkt des Graphen, bei x=1 liegt ein Extrema vor und der Graph hat bei x=1,5 eine Wendestelle.

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(2) = 3
8·a + 4·b + 2·c + d = 3

f'(1) = 0
3·a + 2·b + c = 0

f''(1,5) = 0
9·a + 2·b = 0

Eine 4. Gleichung gibt es nicht, daher muss man leider das Gleichungssystem nur nach 3 Unbekannten auflösen und eine Unbekannte stehenlassen. Z.B.

a = (3 - d)/2 ∧ b = 9·(d - 3)/4 ∧ c = 3·(3 - d) ∧ d = d

f(x) = 0.5·(3 - d)·x^3 + 2.25·(d - 3)·x^2 + 3·(3 - d)·x + d

 

2.) Der Graph verläuft durch P(0;-5) und Q(1;0) und berührt die x - Achse im Punkt R(5;0)

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(0) = -5
d = -5

f(1) = 0
a + b + c + d = 0

f(5) = 0
125·a + 25·b + 5·c + d = 0

f'(5) = 0
75·a + 10·b + c = 0

Hier wäre die Lösung nach meiner Rechnung

a = 0.2 ∧ b = -2.2 ∧ c = 7 ∧ d = -5

f(x) = 0.2·x^3 - 2.2·x^2 + 7·x - 5

 

Comments

Hier wären z.b. die Funktionsgraphen für d = 0, 1 und 2