Funktionsbestimmung: 2 Polynome 4. Grades und symmetrische Graphen

Question

tut mir leid, dass ich soviel frage, aber Mathe liegt bei mir schon etwas länger zurück und ich komm da irgendwie nicht rein.

 

Diesmal geht es um 2 Polynome 4. Grades

1. Der Graph ist Achsensymmetrisch zur Y- Achse, geht durch den Koordinatenursprung, hat bei x=3 eine Nullstelle, sowie an dieser Stelle eine Steigung von m=-48

2. Ein zur Y-Achse symmetrischer Graph schneidet die x-Achse bei x=3, mit der Steigung m=-54 und verläuft durch den Ursprung

 

Da beide zur Y-Achse symmetrisch sind, können sie ja nur gerade Exponenten haben. Und das verwirrt mich total, wie ich da auf meine Gleichungen komme.

Danke =)

Answer 1

Der Ansatz ist dann

y = a x^4 + b x^2 + c x^0 oder einfach

y = a x^4 + b x^2 + c

3 Unbekannte. Du brauchst also nur 3 Gleichungen.

Comments

1. Der Graph ist Achsensymmetrisch zur Y- Achse, geht durch den Koordinatenursprung, hat bei x=3 eine Nullstelle, sowie an dieser Stelle eine Steigung von m=-48

f(0) = 0

a 0^4 + b 0^2 + c = 0 → c = 0

f(3) = 0

a 3^4 + b 3^2 = 0

f '(3) = - 48

f '(x) = 4a x^3 + 2b x

f ' (3) = 4 a 3^3 + 2 b 3 = 4*3^3 a + 6b = - 48

Jetzt noch die beiden Gleichungen für a und b auflösen.

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2. Ein zur Y-Achse symmetrischer Graph schneidet die x-Achse bei x=3, mit der Steigung m=-54 und verläuft durch den Ursprung

Verläuft durch den Unrsprung: c=0

f(3) = 0

a 3^4 + b 3^2 = 0 , 81 a + 9b = 0 oder 9a + b =0 --------> b = - 9a

f ' (3) = - 54

f ' (3) = 4 a 3^3 + 2 b 3.  4*3^3 a + 6b = - 54 |:6

2*3^2 a + b = -9

18 a + b = - 9        , b von oben einsetzen

18 a - 9a = -9

9a = -9

a= -1

b = -9a = 9

Somit

y = -x^4 + 9x^2

 

Answer 2

Diesmal geht es um 2 Polynome 4. Grades

1. Der Graph ist Achsensymmetrisch zur Y- Achse,

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

geht durch den Koordinatenursprung,

f(0) = 0
c = 0

hat bei x=3 eine Nullstelle,

f(3) = 0
81·a + 9·b + c = 0

sowie an dieser Stelle eine Steigung von m=-48

f'(3) = -48
108·a + 6·b = -48

Kontrolllösung: a = - 8/9 ∧ b = 8 ∧ c = 0

2. Ein zur Y-Achse symmetrischer Graph

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

schneidet die x-Achse bei x=3,

f(3) = 0
81·a + 9·b + c = 0

mit der Steigung m=-54

f'(3) = -54
108·a + 6·b = -54

und verläuft durch den Ursprung

f(0) = 0
c = 0

Kontrollösung: a = -1 ∧ b = 9 ∧ c = 0

 

Answer 3

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y- Achse, geht durch den Koordinatenursprung, hat bei \(x=3\) eine Nullstelle, sowie an dieser Stelle eine Steigung von \(m=-48\)

Nullstellenform der Parabel:

\(f(x)=ax^2(x-3)(x+3)=ax^2(x^2-9)=a(x^4-9x^2)\)

\(f'(x)=a(4x^3-18x)\)

\(f'(3)=54a=-48\)

\(a=-\frac{8}{9}\)

\(f(x)=-\frac{8}{9}(x^4-9x^2)\)

Aufgabe 2. analog.