Beweise dass die Formel eine symmetrische Bilinearform ist.

Question

Mb Aufgabe:

Sei V der reelle Vekorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grade kleiner gleich 2.

a) Beweisen Sie, dass die Formel:

(p,q) = p(7)q(7) + p(-1)q(-1) - p‘(-7)q‘(-7)

Eine symmetrische Bilinearform auf V definiert.

Problem/Ansatz:

Ich hätte alle varianten mit den Basiswerten {1,x,x^2} ausgerechnet und dann auf Symmetrie geprüft. Aber da die Aufgabe nur einen Punkt gibt gehe ich davon aus das es einen besseren/schnelleren Weg gibt dies zu prüfen... lieg ich da richtig?

LG

Answer 1

Aloha :)

Mit \(a\in\mathbb R\) und den Polynomen \(p,r,q\) vom Grad 2 gilt:

$$(ap+r,q)=(ap+r)(7)q(7)+(ap+r)(-1) q(-1)-(ap+r)'(-7) q'(-7)$$$$\phantom{(ap+r,q)}=ap(7)q(7)+rq(7)+ap(-1)q(-1)+rq(-1)-ap'(-7)q'(-7)-r'(-7)q(-7)$$$$\phantom{(ap+r,q)}=a\cdot(p(7)q(7)+p(-1)q(-1)+p'(-7)q'(-7))+$$$$\phantom{(ap+r,q)}+(r(7)q(7)+r(-1)q(-1)-r(-7)q(-7))$$$$\phantom{(ap+r,q)}=a(p,q)+(r,q)$$

Daher ist \((\cdot,\cdot)\) in der ersten Komponente linear.

Wegen der Symmetrie der Berechnungsvorschrift ist \((\cdot,\cdot)\) auch kommutativ \((p,q)=(q,p)\), sodass die Linearität auch für die zweite Komponente gilt:$$(p,ar+q)=(ar+q,p)=a(r,p)+(q,p)=a(p,r)+(p,q)$$

Answer 2

Die Symmetrie ist sozusagen trivial:

\((p,q)=p(7)q(7)+p(-1)q(-1)+p'(-7)q'(-7)=\)

\(=q(7)p(7)+q(-1)p(-1)+q'(-7)p'(-7)=(q,p)\).

Interessanter ist hier die Linearität in einem Argument.

Die musst du zeigen.