Symmetrische Bilinearform und Gramsche Matrix

Question

Ist eine Bilinearform genau dann symmetrisch, wenn ihre Gramsche Matrix S symmetrisch ist? Falls das stimmt, wie zeige ich das?

Answer 1

Sei \(s\) die symmetrische Bilinearform und \(b_1,\cdots,b_n\) eine Basis,

bzgl. derer \(S=(s_{ij})\) die Gramsche Matrix definiert sei.

Nun sei \(S\) symmetrisch, \(x=\sum_ix_ib_i,\; y=\sum_j y_jb_j\), dann gilt

\(s(x,y)=s(\sum_i x_ib_i, \sum_j y_jb_j)=\sum_i(\sum_j s(x_ib_i,y_jb_j))=\)

\(=\sum_i\sum_j x_iy_js(b_i,b_j)=\sum_i\sum_jx_iy_j s_{ij}=\)

Wegen der Symmetrie von \(S\) ist dies gleich

\(\sum_i\sum_j y_jx_i s_{ji}=\sum_j\sum_iy_jx_is(b_j,b_i)=...=s(y,x)\).

Die umgekehrte Richtung ist klar.